Es la forma asintótica de la densidad de potencias de números primos cero?

Question

Para $A \subseteq \mathbb{N}$, podemos definir la densidad asintótica de $A$ a ser el siguiente límite (si existe):

$$d(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|A \cap \{1, 2, \ldots n\}|}{n}$$

El primer número de thm, la densidad asintótica de todos los números primos es igual a cero. Me han estado preguntando acerca de la siguiente pregunta. Es la forma asintótica de la densidad de $A = \{p^k: \text{$p$ prime, $k \geq 0$ integer}\}$ cero? Intuitivamente creo que debería haber $d(A) = 0$, como las brechas entre las potencias de números primos más grandes y más grandes.

Creo que para fijo $k$, $d(A_k) = 0$ $A_k = \{p^k : \text{$p$ prime} \}$. Tal vez si tuviéramos subadditivity de la densidad, esto demostraría $d(A) = 0$ por

$$d(A) = d(\bigcup_{k = 0}^\infty A_k) \leq \sum_{k = 0}^\infty d(A_k) = 0$$

Hace asintótica densidad tienen esta propiedad?

Answer 1

Asintótica de la densidad no es countably subadditive ya que para todos $n\in{\Bbb N}$, $d(\{n\})=0$ pero $d(\cup_n \{n\})=d({\Bbb N})=1$. Es finitely subadditive en el sentido de que si $d(S)$, $d(T)$, y $d(S\cup T)$ todos los que existen, a continuación, $$d(S\cup T)\le d(S)+d(T).$$ También, si $d(S)=d(T)=0$,$d(S\cup T)=0$.

Si $P$ es el conjunto de números primos y $Q$ es el conjunto de competencias (cuadrados, cubos, etc.), a continuación,$A\subseteq P\cup Q$. Como usted señala, $d(P)=0$, y el tamaño de $Q\cap\{1,\dots,n\}$ es en la mayoría de los $$ \sqrt{n}+n^{1/3}+\cdots+n^{1/k}, \qquad (*) $$ donde $k$ puede ser llevado a ser el mayor entero tal que $n\ge 2^k$. Desde $k\le \log_2 n$ y cada término de la suma (*) es en la mayoría de las $\sqrt{n}$, la cantidad de (*) es en la mayoría de las $\sqrt{n} \log_2 n$. Como $$ \lim_n \frac{\sqrt{n} \log_2 n}{n}=0, $$ esto demuestra que $d(Q)=0$. Por lo tanto, $d(A)=0$.