Demostrando un Anillo es conmutativo si cada elemento es idempotente

Question

He tenido esta pregunta en un examen final. Me preguntaba si alguien sabe de una prueba para ella.

Vamos a R un anillo, no necesariamente con la unidad ( $1 \neq 0$ $x \in R$ , de modo que $x*1=x=1*x$) y dejar que R tiene la propiedad de que cada elemento de R es idempotente que es $\forall x \in R\quad x*x=x$. Demostrar que $R$ es conmutativa.

No poner toda mi respuesta porque sé que se ha equivocado. Voy a poner la parte donde tuve problemas para ir al siguiente paso.

Mi argumento fue así: vamos a $a,b \in R$ $ab\in R$ causa $R$ es un anillo. Por lo tanto,$abab=ab$.

Ahora$aabb=ab$, así que $$abab=aabb\ \Rightarrow abab-aabb=0 \Rightarrow\ a(ba-ab)b=0\ \because\text{ distributive property of $R$}.$$

Ahora porque R no es un anillo de división, a continuación, el elemento $a$ podría ser un divisor de cero o $b$ podría ser también así que usted no puede simplemente asumir $ba-ab=0$. Esto es donde estoy atascado.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(x+y)=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2$. Ahora, usando la propiedad de que $x^2=x$$y^2=y$,$xy+yx=0$, de modo que $xy=-(yx)$. También, desde la $x=x^2=(-x)^2=-x$, cada elemento es su propio inverso aditivo, es decir, $xy=yx$ por lo que el anillo es conmutativo.