Yo sé que esto puede no ser cierto debido a contra-ejemplos, pero yo no sé dónde está el error en mi razonamiento.
Asunción: Si $f(x)$ es diferenciable en a$\mathbb{R}$, entonces la derivada $f'(x)$ es continua en a $\mathbb{R}$.
Defectuosa De La Prueba: Para cada $c \in \mathbb{R}$, utilizando el valor medio teorema de $f(x),$ en el intervalo de $x \in [c, c + h] $ donde $h$ es positivo.
$$ \frac{f(c + h) - f(c)}{h} = f'(\xi(h)) $$
Donde $\xi(h) \in (c,c+h)$. Debido a que esta ecuación tiene para cada $h>0$. Se debe mantener en el límite de $h \rightarrow 0^+$.
$$ \lim_{h\to 0^+}\frac{f(c + h) - f(c)}{h} = \lim_{h\to 0^+}f'(\xi(h)) $$
Pero el lado izquierdo de la ecuación es el derecho unilateral de derivados.
$$ f'_{+}(c) = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(c + h) - f(c)}{h} = \lim_{h\to 0^+}f'(\xi(h)) $$
Lo mismo se puede hacer para $h$ siendo negativo, pero debido a la diferenciabilidad en cada punto de la izquierda y la derecha derivados deben ser iguales.
$$ f'(c) = f'_{+}(c) = f'_{-}(c) = \lim_{h\to 0^-}\frac{f(c + h) - f(c)}{h} = \lim_{h\to 0^-}f'(\xi(h)) $$
Como $h \rightarrow 0^+$, $\xi(h) \rightarrow c$. Esto debido a que el límite de $\lim_{h\to 0^+}f'(\xi(h))$ existe y $\xi(h) \neq c$, es igual a $\lim_{x\to c^+}f'(x)$
De ello se desprende que $\lim_{x\to c^+}f'(x) = \lim_{x\to c^-}f'(x) = f'(c)$, por lo que la función de $f'(x)$ es continua.
