Caracterización de subconjuntos compactos de espacios de Banach

Question

Tengo la siguiente pregunta de deberes:

Caracterizar los subconjuntos compactos de los siguientes espacios de Banach:

(1) El espacio $c_0$ de secuencias nulas (es decir, secuencias $(x_n)$ de escalares con $ | x_n | \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ ) con la norma $\|(x_n)\| = \sup_{n \geq 1} |x_n| = \max_{n \geq 1} |x_n|$ .

Lo que creo que podría ser una respuesta:

Si $(c_0, \| \cdot\|_\infty)$ es compacto entonces por Ascoli-Arzelà un conjunto es compacto si y solo si es cerrado, acotado y equicontinuo. Así que tengo que demostrar que $c_0$ es compacto y una vez que tengo eso afirmo que los conjuntos cerrados acotados tienen como base las bolas cerradas en la métrica inducida por $\|\cdot\|_\infty$ . Entonces necesito demostrar que las secuencias en estas bolas son equicontinuas.

Editar Utilizando sus comentarios:

Dejemos que $\mathbb{N}_\infty$ denotan $\mathbb{N} \cup \{ \infty \}$ . Entonces este espacio es compacto (es homeomorfo a $\{ 0 \} \cup \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \}$ ). Entonces $c_0$ es homeomorfo a $\{ x | x( \infty ) = 0 \} \subset C(\mathbb{N}_\infty)$ . Por lo tanto, $K \subset c_0$ es compacto si $K$ es compacto en $C(\mathbb{N}_\infty)$ . Ahora se aplica Ascoli-Arzelà y así $K$ es compacto si $K$ es cerrado, acotado y equicontinuo.

Así que necesito escribir cómo son los conjuntos cerrados, acotados y equicontinuos. Afirmo que tienen como base las bolas cerradas en la métrica inducida por $\|\cdot\|_\infty$ .

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Me gustaría rehacer el argumento utilizado en la prueba de Arzelà-Ascoli a mano para esta tarea:

Para $S \subset c_0(\mathbb{N})$ queremos demostrar que $S$ es compacto si es cerrado, acotado y tal que para $\varepsilon > 0$ existe un $N$ tal que para $n > N$ tenemos $|s(n)| < \varepsilon$ para todos $s$ en $S$ .

Dejemos que $S \subset c_0(\mathbb{N})$ sea un conjunto de este tipo. Demostraremos que $S$ es compacta demostrando que toda secuencia $s_n$ en $S$ tiene una subsecuencia convergente $s^\prime_n$ . ( $c_0(\mathbb{N})$ es un espacio métrico por lo que la compacidad y la compacidad secuencial coinciden). Para $s^\prime_n$ para ser convergente en $S$ basta con demostrar que es Cauchy porque $c_0(\mathbb{N}) $ es completa por lo que toda secuencia de Cauchy converge en ella. $S$ es cerrado por suposición por lo que contiene todos sus puntos límite, en particular el límite de $s^\prime_n$ .

$S$ también está acotado por hipótesis, es decir, existe un $M \in \mathbb{R}$ tal que $\|s \|_\infty \leq M$ para todos $s$ en $S$ . Así que en particular, $s_n(1)$ es una secuencia acotada en $\mathbb{R}$ por lo que por Bolzano-Weierstrass contiene una subsecuencia convergente $s_{n1}(1)$ . $s_{n1}(2)$ es de nuevo una secuencia acotada en $\mathbb{R}$ por lo que de nuevo contiene una subsecuencia convergente $s_{n2}(2)$ que converge en $1$ y $2$ . Repitiendo este argumento obtenemos $s_{nk}$ una secuencia de funciones que convergen en $1, \dots , k$ .

Ahora definimos $g_k (i) := s_{kk}(i)$ entonces $g_k$ es una función que converge puntualmente en todo $\mathbb{N}$ . Para terminar la prueba mostramos que $g_k$ es una secuencia de Cauchy con respecto a $\|\cdot \|_\infty$ .

Podemos utilizar la desigualdad del triángulo para obtener lo siguiente:

$$ |g_k(n) - g_j(n)| \leq |g_k(n)| + |g_j(n)|$$

Por supuesto en $S$ existe un $N_\varepsilon$ tal que para $n > N_\varepsilon$ tenemos $|g_k(n)| < \frac{\varepsilon}{2}$ y $|g_j(n)| < \frac{\varepsilon}{2}$ para todos $j,k$ .

Para $n \leq N_\varepsilon$ sabemos que por construcción $g_k(n)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$ por lo que existe un $N_n$ tal que para $k,j>N_n$ tenemos $|g_k(n) - g_j(n)| < \varepsilon$ .

Por lo tanto, tenemos que para todo $j,k > \max \{ N_1, \dots, N_{N_\varepsilon}, N_\varepsilon \}$ y todos $n$ : $$ |g_k(n) - g_j(n)| < \varepsilon $$

y por lo tanto $\sup_{n \in \mathbb{N}} |g_k(n) - g_j(n)| = \| g_k - g_j\|_\infty \leq \varepsilon$ lo que significa que $g_k$ es Cauchy con respecto a $\|\cdot\|_\infty$ .

Así que $S$ es compacto.