La transformada de Fourier es uniformemente continua

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación:

Si $f \in L^1$ entonces $\hat f$ es uniformemente continua.

El argumento dado es el siguiente :

$$|\hat f (\xi +h )-\hat f (\xi)| = \left| \int f(x) (e^{-2 \pi i x \cdot (\xi+h)}- e^{-2 \pi i x \cdot (\xi)})\mathrm dx \right| \leq 2 \|f\|_{L^1}$$

Ahora supongo que tenemos que utilizar el Teorema de Convergencia Dominada, pero no soy capaz de ver a qué secuencia de funciones aplicamos el teorema.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

No sé si sus preguntas han sido contestadas en su totalidad. Para completar, aplicamos el DCT por las razones que mencionas en tu post. El resumen de la historia es:

$$\begin{align} \left|\widehat{f}(\xi + h) - \widehat{f}(\xi)\right| &= \left| \int f(x) \left(e^{-2 \pi i x \cdot (\xi + h)} - e^{-2 \pi i \xi \cdot x} \right)dx \right| \\ &\leq \int |f(x)| \left|e^{2 \pi i x \cdot h} - 1 \right| dx \end{align}$$

que tiende a cero cuando $h \to 0$ y esto es suficiente para mostrar una continuidad uniforme.

Answer 2

Me gusta el comentario de Olivier sugiriendo el uso del Lemma de Riemann-Lebesgue, pero aquí hay un enfoque diferente. $$ \begin{align} \hat{f}(\xi+\eta)-\hat{f}(\xi) &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\left(e^{-2\pi ix\cdot(\xi+\eta)}-e^{-2\pi ix\cdot\xi}\right)\mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\left(e^{-2\pi ix\cdot\eta}-1\right)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\;\mathrm{d}x\tag{1} \end{align} $$ Para cualquier $f\in L^1$ y $\epsilon>0$ por convergencia dominante, podemos encontrar un $R>0$ para que $$ \int_{|x|>R}|f(x)|\mathrm{d}x<\frac{\epsilon}{4}\tag{2} $$ Dejemos que $\delta=\frac{\epsilon}{4\pi R\|f\|_{L^1}}$ . Para $|x|\le R$ y $|\eta|<\delta$ , $$ \left|e^{-2\pi ix\cdot\eta}-1\right|\le\frac{\epsilon}{2\|f\|_{L^1}}\tag{3} $$ mientras que para todos $x$ , $$ \left|e^{-2\pi ix\cdot\eta}-1\right|\le2\tag{4} $$ Entonces, para $|\eta|<\delta$ , $$ \begin{align} |\hat{f}(\xi+\eta)-\hat{f}(\xi)| &\le\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|\;|e^{-2\pi ix\cdot\eta}-1|\;\mathrm{d}x\\ &=\int_{|x|<R}|f(x)|\;|e^{-2\pi ix\cdot\eta}-1|\;\mathrm{d}x +\int_{|x|\ge R}|f(x)|\;|e^{-2\pi ix\cdot\eta}-1|\;\mathrm{d}x\\ &\le\|f\|_{L^1}\frac{\epsilon}{2\|f\|_{L^1}}+\;2\frac{\epsilon}{4}\\ &=\epsilon \end{align} $$

Answer 3

I) La prueba para $L_1$ es más simple en realidad; aquí hay un esbozar :

1) Demuestre que un mapa lineal $f : E\to E'$ es continua (incluso uniformemente) si es continua en cero (0); es decir

$$\begin{align} (\exists c\ \epsilon \ \mathbb{R}) \ |f(x)|\leq c|x| \end{align}$$

2) La transformada de Fourier es una funcional lineal definido en $L_1$ . Así que, por (1) sólo hay que demostrar que es continua en 0: Tenemos:

$$\begin{align} F(f) = \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-j\omega x}dx \end{align}$$ Donde F es el operador de Fourier definido en L1. $$\begin{align} |F(f)| = \left|\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-j\omega x}dx\right| \leq \int_{\mathbb{R}} |f(x)e^{-j\omega x}|dx \leq \int_{\mathbb{R}} |f(x)|dx = \left \| f \right \|_{L^1} < {\infty} \end{align}$$ Así, $$\begin{align} \left | F(f) \right | \leq 1 \left \| f \right \|_{L^1}, \end{align}$$ Con esto se completa la prueba (se fija c = 1)

II) Sí, puedes usar el DCT, aquí tienes cómo: Tome cualquier secuencia $$x_n \to 0$$ Set $$ u_n(x) = f(x)e^{-i\omega (x\pm x_n)} \ \\ \ u(x) = f(x)e^{-i\omega x} $$ Claramente, $$ u_n \to u $$

Ahora, $$\ u\ is\ L^1,\ so\ is\ each\ u_n$$

También tenemos $$\left |u_n \right | \leq \left | f \right |\ and\ f\ is\ L^1$$ Ahora usa el DCT para obtener: $$ \int_{\mathbb{R}}|u_n-u| \to 0\ as \ n \to \infty $$

Answer 4

Obsérvese que, para el caso real $x,y \in \mathbb R$ , $$|e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y| \wedge 2.$$ Entonces $$|\hat f (\xi +h )-\hat f (\xi)| \leq \int |f(x)| (|2\pi x h|\wedge 2) \mathrm dx, $$ por lo que tenemos un límite que no depende de $\xi$ que llega a cero cuando $|h| \to \infty$ por el teorema de convergencia dominada.