$\int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e^{-t}dt=?$

Question

Tengo una pregunta:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos t}{t} e^{-t}dt=\ ?$$

Gracias por tu ayuda. Gracias por adelantado.

Answer 1

Considere la posibilidad de $$\mathcal{I}(a)=\int_0^{\infty}\frac{1-\cos at}{t}e^{-t}dt.$$ La diferenciación de w.r.t. $a$, nos encontramos con $$\mathcal{I}'(a)=\int_0^{\infty}\sin at\;e^{-t}dt=\frac{a}{1+a^2}.$$ Ahora la integración de la espalda y el uso de ese $\mathcal{I}(0)=0$ rendimientos $$\mathcal{I}(a)=\int_0^a\frac{a\,da}{1+a^2}=\frac12\ln\left(1+a^2\right).$$ Queda por establecer $a=1$.

Answer 2

$$\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos t}{t} e^{-t} \ dt &= -\int_{0}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}t^{2n}}{(2n)!} \frac{e^{-t}}{t} \ dt \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!} \int_{0}^{\infty}t^{2n-1}e^{-t} \ dt \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!} (2n-1)! \\ &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \\ &=\frac{\ln 2}{2} \end{align}$$

Answer 3

Considere la integral de la $$\int_0^\infty \frac{1-\cos t}{t} e^{-st} dt. $$ Si definimos $f(t)=1-\cos t$, esta integral es la transformada de Laplace de $f(t)/t$. Por otra parte, se tiene la siguiente identidad para calcular transformadas de Laplace:

$$\mathcal{L} \left\{ \frac{f(t)}{t} \right\}(s)=\int_s^\infty F(\sigma)d \sigma $$ donde $F(\sigma)$ es la transformada de Laplace de $f(t)$, que en nuestro caso es conocido por ser $$F(\sigma)=\frac{1}{\sigma}-\frac{\sigma}{\sigma^2+1}. $$ Thus we have $$\int_0^\infty \frac{1-\cos t}{t} e^{-st}=\int_s^\infty \left( \frac{1}{\sigma}-\frac{\sigma}{\sigma^2+1} \right) d \sigma= \log \sigma-\frac{1}{2} \log (\sigma^2+1) \big]^{\sigma=\infty}_{\sigma=s} .$$ Conectar $s=1$ da $$\int_0^\infty \frac{1-\cos t}{t} e^{-t} dt=\frac{1}{2} \log 2- \log 1=\frac{1}{2} \log 2 .$$

Answer 4

Otro enfoque

Considere la posibilidad de la transformada de Laplace $$ \mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)=\int_0^\infty f(t)\ e^{st}\ dt $$ y la propiedad de la transformada de Laplace unilateral $$ \mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_s^\infty F(\omega)\ d\omega, $$ donde $F(\omega)$ es la transformada de Laplace de $f(t)$. Elegimos $f(t)=(1-\cos at)$ y es fácil demostrar que $$ \mathcal{L}\left[1-\cos\right]=F(s)=\int_0^\infty (1-\cos a)\ e^{st}\ dt=\frac{a^2}{s(s^2+a^2)}, $$ entonces $$\eqalign { \mathcal{L}\left[\frac{1-\cos en}{t}\right]&=\int_1^\infty \frac{a^2}{s(s^2+a^2)}\ ds\\ &=\int_1^\infty \left[\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+a^2}\right]\ ds\\ &=\left.\frac12\left[\ln s^2-\ln(s^2+a^2)\right]\right|_1^\infty\\ &=\left.\frac12\ln\left(\frac{s^2}{s^2+a^2}\right)\right|_1^\infty\\ &=\frac12\ln\left(1+a^2\right). } $$ Tomando $a=1$ rendimientos $$ \int_0^\infty \left[\frac{1-\cos t}{t}\right]\ e^{-t}\ dt=\large\color{blue}{\frac{\ln 2}{2}}. $$

Answer 5

He aquí una solución utilizando Frullani integral.

$$\int_0^{\infty} \frac{1-\cos t}{t}e^{-t}\,dt=\Re\left(\int_0^{\infty} \frac{1-e^{it}}{t}e^{-t}\,dt\right)=\Re\left(\int_0^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-(1-i)t}}{t}\,dt\right)$$ $$=\Re\left(\ln\left(\frac{1-i}{1}\right)\right)=\Re\left(\ln\left(\sqrt{2}e^{i(-\pi/4+2k\pi)}\right)\right)=\boxed{\dfrac{\ln 2}{2}}$$