Sorprendente: la suma de dos infinito productos de anidado radicales igual a $ \pi $.

Question

Recientemente, me encontré con la siguiente expresión manuscrita en un viejo libro de matemáticas de mi familia. Probablemente perteneció a mi abuelo Boris, que tenía un P. D. de matemáticas.

$ \pi = \frac{4\sqrt{5}}{5}.\frac{2}{\sqrt{2 + \frac{4}{\sqrt{5}}}}.\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 +\frac{4}{\sqrt{5}}}}}.\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +\frac{4}{\sqrt{5}}}}}}... +\frac{2\sqrt{10}}{5}.\frac{2}{\sqrt{2 + \frac{6}{\sqrt{10}}}}.\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 +\frac{6}{\sqrt{10}}}}}.\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +\frac{6}{\sqrt{10}}}}}}... $

He encontrado esta identidad muy interesante, y, de hecho, yo nunca lo había visto. Es similar, pero diferente, de Vieta con la fórmula de la $ \pi $

Cómo demostrar esta identidad?

Answer 1

Deje $\theta=\arctan\frac{1}{2}$. A continuación,$\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$, por lo tanto $\sec\theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$ y $$\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}},\qquad \cos\frac{\theta}{4}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}}}{2}}$$

y así sucesivamente. Realizar un poco de maquillage, luego de recordar que $$ \cos(\theta)\cos(2\theta)\cdots\cos(2^N\theta)=\frac{\sin(2^{N+1}\theta)}{2^N\sin(\theta)}$$ por un telescópica producto, y que se reconozca que su identidad es sólo la afirmación de $$ \arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}=\frac{\pi}{4},$$ bastante bien conocido. Su abuelo combinado un Machin-como la fórmula con el principio detrás de la Vieta de la fórmula para $\pi$.