Otro enfoque. Podemos aplicar dos veces la siguiente general algebraica de identidad que involucra anidados
los radicales
\begin{equation*}
\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{
a^{2}-b}}{2}}\tag{1}
\end{ecuación*}
para obtener
\begin{equation*}
\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}=\sqrt[4]{161-
\sqrt{25\,920}}=\sqrt{5}-2.
\end{ecuación*}
La computación numérica puede ser llevado a cabo de la siguiente manera:
\begin{eqnarray*}
\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}} &=&\left( \sqrt{\frac{161+\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}
}-\sqrt{\frac{161-\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}\right) ^{1/2} \\
&=&\left( \sqrt{\frac{161+1}{2}}-\sqrt{\frac{161-1}{2}}\right) ^{1/2} \\
&=&\sqrt{9-\sqrt{80}} \\
&=&\sqrt{\frac{9+\sqrt{9^{2}-80}}{2}}-\sqrt{\frac{9-\sqrt{9^{2}-80}}{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{9+1}{2}}-\sqrt{\frac{9-1}{2}}\\
&=&\sqrt{5}-2.
\end{eqnarray*}
AÑADIDO. Nota: Si el radical fueron de la forma $\sqrt{a+\sqrt{b}}$, a continuación, la aplicación de la identidad sería
\begin{equation*}
\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{
a^{2}-b}}{2}}.\tag{2}
\end{ecuación*}
Prueba (de Sebastião e Silva, Silva Paulo, Compêndio de Álgebra
II, 1963). Encontrar dos números racionales $x,y$ tal que
\begin{equation*}
\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y},\text{ with }a,b\in \mathbb{Q},
\end{ecuación*}
nos cuadrado ambos lados y reorganizar los términos
\begin{equation*}
2\sqrt{xy}=a-x-y+\sqrt{b}.
\end{ecuación*}
El cuadrado de los rendimientos de nuevo
\begin{equation*}
4xy=\left( a-x-y\right) ^{2}+2\left( a-x-y\right) \sqrt{b}+b.
\end{ecuación*}
Desde $x,y\in \mathbb{Q}$, $a-x-y=0$, lo que significa que $x,y$ satisfacer el sistema de ecuaciones
\begin{equation*}
x+y=a,\qquad xy=\frac{b}{4}.
\end{ecuación*}
En consecuencia, son las raíces de
\begin{equation*}
X^{2}-aX+\frac{b}{4}=0,
\end{ecuación*}
es decir,
\begin{eqnarray*}
x &=&X_{1}=\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2} \\
y &=&X_{2}=\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}.
\end{eqnarray*}
