Hay otra manera de resolver esta integral?

Question

Mi manera de resolver esta integral. Me pregunto ¿hay otra manera de solucionarlo ya que es muy largo para mí.

$$\int_{0}^{\pi}\frac{1-\sin (x)}{\sin (x)+1}dx$$

Deja $$u=\tan (\frac{x}{2})$$ $$du=\frac{1}{2}\s ^2(\frac{x}{2})dx $$

Por Weierstrass Sustitución

$$\sin (x)=\frac{2u}{u^2+1}$$

$$\cos (x)=\frac{1-u^2}{u^2+1}$$

$$dx=\frac{2du}{u^2+1}$$

$$=\int_{0}^{\infty }\frac{2(1-\frac{2u}{u^2+1})}{(u^2+1)(\frac{2u}{u^2+1}+1)}du$$

$$=\int_{0}^{\infty }\frac{2(u-1)^2}{u^4+2u^3+2u^2+2u+1}du $$

$$=2\int_{0}^{\infty }\frac{(u-1)^2}{u^4+2u^3+2u^2+2u+1}du $$

$$=2\int_{0}^{\infty }\frac{(u-1)^2}{(u+1)^2(u^2+1)}du $$

$$=2\int_{0}^{\infty }(\frac{2}{(u+1)^2}-\frac{1}{u^2+1})du $$

$$=-2\int_{0}^{\infty }\frac{1}{u^2+1}du+4\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(u+1)^2}du $$

$$\lim_{b\rightarrow \infty }\left | (-2\bronceado^{-1}(u)) \right |_{0}^{b}+4\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(u+1)^2}du$$

$$=(\lim_{b\rightarrow \infty}-2\bronceado^{-1}(b))+4\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(u+1)^2}du$$

$$=-\pi+4\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(u+1)^2}du$$

Deja $$s=u+1$$

$$ds=du$$

$$=-\pi+4\int_{1}^{\infty}\frac{1}{s^2}ds$$

$$=-\pi+\lim_{b\rightarrow \infty}\left | (-\frac{4}{s}) \right |_{1}^{b}$$

$$=-\pi+(\lim_{b\rightarrow \infty} -\frac{4}{b}) +4$$

$$=4-\pi$$

$$\aprox 0.85841$$

Answer 1

Sustituto $x=\pi/2-2t$ por lo que la integral se convierte en $$ -2\int_{\pi/4}^{-\pi/4}\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}\,dt= 2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{1-\cos^2}{\cos^2}\,dt =2\Bigl[\bronceado t - t\Bigr]_{-\pi/4}^{\pi/4} $$

Answer 2

El primer uso parcial de las fracciones para deshacerse de la sinusoidal en el numerador: $$ \int_0^{\pi} \frac{1-\sin{x}-1+1}{1+\sin{x}} \, dx = \int_0^{\pi} \left( \frac{2}{1+\sin{x}} - 1 \right) \, dx = -\pi + \int_0^{\pi} \frac{2 \, dx}{1+\sin{x}}. $$ Tenemos la identidad $ A$ 1+\sin{x} = 2\sin^2{\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} $$ (a partir de $\cos{2\theta}=1-2\sin^2{\theta}$ y $\sin{\theta}=-\cos{(\theta+\pi/2)}$), así que el resto de la integral es $$ \int_0^{\pi} \csc^2{\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \, dx = \left[ -2 \cot{\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right]_0^{\pi} = -2(-1-1) = 4 $$

Answer 3

Multiplicar numerador y denominador por $1 - \sin x$. De modo que $\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x} \cdot \dfrac{1-\sin x}{1-\sin x}dx $

$$ = \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{1-2\sin x+ \sin^2x}{\cos^2x}dx = \int_0^\pi \s^2x - 2\dfrac{\sin x}{\cos^2x} + \bronceado^2x dx$$

Sabemos que $\bronceado^2x + 1 = \s^2x$. Por lo que la integral se vería así: $$= \int_0^\pi 2\s^2x -1 - 2\dfrac{\sin x}{\cos^2x}dx$$

Sabemos que la integral de $\s^2x$ es de solo $\tan x$, y el último integrando puede ser resuelto por dejar que $u=\cos x$.

Answer 4

Sugerencia: tenga en cuenta que por la simetría nuestros integral es el doble de la integral a partir de $0$ a $\pi/2$. A continuación, por la simetría de reemplazar $\sin x$ en $\cos x$. A continuación, utilice las identidades $\cos x=2\cos^2 (x/2)-1=1-2\sin^2(x/2)$.

Answer 5

A la pregunta "¿hay otra manera", así que aquí es otro. Comienza por quitar la trig desde el numerador:

$$ \int_0^{\pi} \frac{1-\sin{x}}{1+\sin{x}} \, \mathrm{d}x = \int_0^{\pi} \frac{2 - (1 +\sin{x})}{1+\sin{x}} \, \mathrm{d}x = \int_0^{\pi} \left( \frac{2}{1+\sin{x}} - 1 \right) \, \mathrm{d}x = -\pi + \int_0^{\pi} \frac{2 \, \mathrm{d}x}{1+\sin{x}} $$

Hay muchas maneras de resolver esto, pero me gustaría mostrar la sustitución de $u = 1 + \sin x$. Sería mucho más conveniente si los límites corrió desde $0$ $\frac{\pi}{2}$, por lo que $x = \sin^{-1} (u-1)$ es continua, monótona de la función de $[1,2]$ $[0,\frac{\pi}{2}]$, y también porque $\cos x$ y $\sin x$ son positivos por $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$. La última propiedad es a menudo útil para que podamos escribir $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}$ y $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}$. Afortunadamente, la simetría de las consideraciones de permitir un cambio de límites:

$$\int_0^{\pi} \frac{2 \, \mathrm{d}x}{1+\sin{x}} = \int_0^{\pi/2} \frac{4 \, \mathrm{d}x}{1+\sin{x}}$$

Tenemos $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{1-(u-1)^2} = \sqrt{2u - u^2}$ de modo que la integral se convierte en:

$$\int_0^{\pi/2} \frac{4 \, \mathrm{d}x}{1+\sin{x}} = \int_1^2 \frac{4 \, \mathrm{d}u}{u \sqrt{2u - u^2}} = \int_1^2 \frac{4 \, \mathrm{d}u}{u \sqrt{-u(u-2)}}$$

Esto puede parecer temible, pero en realidad es muy susceptible a la tercera Euler sustitución, ya que disponemos de un factorised cuadrática expresión dentro de la raíz cuadrada. El cálculo es muy similar a esta respuesta. En general, la sustitución es de $\sqrt{au^2 + bu + c} = \sqrt {(u-\alpha)(u-\beta)} = (u-\alpha)t$ que da $u = \frac {\beta\alpha t^2}{a-t^2}$; en nuestro caso podemos tomar $a=-1$, $b=2$, $c=0$, $\alpha=0$ y $\beta=2$ $\sqrt{-u(u-2)} = ut$.

Desde $u=\frac{(-1)(2)-0t^2}{-1-t^2}=2(t^2+1)^{-1}$ obtenemos $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = -4t(t^2+1)^{-2}$ y para cambiar los límites que establece $t=\frac{\sqrt{-u(u-2)}}{u} = \sqrt{\frac{2-u}{u}}$. El resto de la integral se convierte en:

$$\int_1^2 \frac{4 \, \mathrm{d}u}{u \sqrt{-u(u-2)}} = \int_1^0 \frac{4 (-4t)(t^2+1)^{-2} \, \mathrm{d}t}{u^2 t} = \int_0^1 \frac{4 (4t)(t^2+1)^{-2} \, \mathrm{d}t}{4(t^2+1)^{-2} t} = \int_0^1 4 \, \mathrm{d}t = 4$$

Esta no era la forma más sencilla de encontrar el resultado de $4 \pi$, pero yo sólo quería sacar la similitud entre esta integral y uno el cartel original se había preguntado acerca de antes (las principales diferencias es la trigonometría en el numerador - que sea fácil de quitar y de los límites).