¿Qué topología hereda una recta en el plano como subespacio de $\mathbb{R_l} \times \mathbb{R}$ y de $\mathbb{R_l} \times \mathbb{R_l}$

Question

Dada una recta en el plano, ¿qué topología hereda esta recta como subespacio de $\mathbb{R_l} \times \mathbb{R}$ y como subespacio de $\mathbb{R_l} \times \mathbb{R_l}$ , donde $\mathbb{R_l}$ ¿es la topología del límite inferior?

Así que tratar de entender esto definitivamente hizo que me doliera el cerebro. Creo que como subespacio de $\mathbb{R_l} \times \mathbb{R}$ todas las rectas no verticales heredan la topología del límite inferior $\mathbb{R_l}$ mientras que las líneas verticales heredan la topología estándar en $\mathbb{R}$ . En cuanto a $\mathbb{R_l} \times \mathbb{R_l}$ La única diferencia es que ahora todas las rectas, incluidas las verticales, heredan la topología del límite inferior.

Mi razonamiento fue básicamente que para $\mathbb{R_l} \times \mathbb{R}$ los conjuntos abiertos en la línea tienen todos un punto final inicial a la izquierda, ya que la coordenada x de este punto final a la izquierda siempre es capturada por los conjuntos abiertos [a,b) en $\mathbb{R_l}$ y esto, a su vez, arrastra la coordenada y del punto final izquierdo inicial para el paseo (por así decirlo). Esto es cierto en todos los casos, excepto en el de la línea vertical, donde no hay desplazamiento en la dirección horizontal y, por tanto, la topología se hereda estrictamente de $\mathbb{R}$ .

En cuanto a $\mathbb{R_l} \times \mathbb{R_l}$ es básicamente el mismo argumento, excepto que ahora las líneas verticales heredan de $\mathbb{R_l}$ también.

¿Puede alguien decirme si he razonado correctamente? Gracias.

Answer 1

Tienes razón sobre $\Bbb R_l\times\Bbb R$ pero se puede hacer un argumento mejor (o al menos más claro). Conjuntos abiertos básicos en $\Bbb R_l\times\Bbb R$ son de la forma $[a,b)\times(c,d)$ así que son cajas abiertas en todos los lados excepto en el izquierdo. Dejemos que $L$ sea una línea no vertical, y sea $\langle x,y\rangle\in L$ . Entonces la intersección de cualquier conjunto abierto básico $[x,b)\times(c,d)$ , donde $y\in(c,d)$ es un intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha con $x$ como punto final izquierdo. No es difícil comprobar que estas intersecciones son una base para la topología del subespacio en $L$ que es, por tanto, la topología de Sorgenfrey (límite inferior). Y como dices, las líneas verticales son homeomorfas al segundo factor, $\Bbb R$ .

$\Bbb R_l^2$ es otra historia, sin embargo. Ahora la topología tiene una base de cajas de la forma $[a,b)\times[c,d)$ , abierto sólo en los bordes superior y derecho. Si la línea $L$ es vertical u horizontal, por supuesto, es homeomorfo a uno de los espacios factoriales, es decir, a $\Bbb R_l$ . Si tiene pendiente positiva, se puede argumentar mucho como en el caso de $\Bbb R_l\times\Bbb R$ para concluir que es homeomorfo a $\Bbb R_l$ . Sin embargo, si tiene pendiente negativa, su topología es discreta: para cualquier $\langle x,y\rangle\in L$ , $$L\cap\Big([x,x+1)\times[y,y+1)\Big)=\big\{\langle x,y\rangle\big\}\;.$$

Answer 2

Deseo responder a la pregunta de @lomber a la respuesta de Brian M. Scott, sin embargo no tengo suficientes puntos de intercambio de matemáticas para hacerlo directamente. Con eso, la respondo aquí:

Tenga en cuenta que, si $\langle x,y\rangle\in L $ entonces

$$\{\langle x,y\rangle\}\stackrel{(1)}{=}L\cap([x,x+1)\times[y,y+1))$$ es un conjunto abierto en la topología del subespacio en $ L $ heredado por $ \mathbb{R}_\ell^2 $ . Esto nos dice que para cada elemento $ \langle x,y\rangle\in L $ el conjunto $ \{\langle x,y\rangle\} $ está abierto. Por lo tanto, si $ U $ es cualquier subconjunto de $ L $ entonces $$U=\bigcup_{\langle x,y\rangle\in U}\{\langle x,y\rangle\}$$ es un conjunto abierto, siendo una unión de conjuntos abiertos. Esto nos informa de que todo subconjunto de $ L $ está abierto. Esta es la definición de la topología discreta.

Para justificar la ecuación (1) (si esa era la parte difícil), observe si $ L $ tiene una pendiente negativa y $ \langle x,y\rangle\in L $ (es decir $y=mx+b$ con $ m<0 $ ), entonces $ v>x$ implica $$mv+b<mx+b=y\text{ thus }mv+b\notin[y,y+1) $$ para que $\langle v,mv+b\rangle\in L\backslash\big([x,x+1)\times[y,y+1)\big). $ Por lo demás, $ v<x $ da claramente $ \langle v,mv+b\rangle\in L\backslash\big([x,x+1)\times[y,y+1)\big)$ .

Por lo tanto, si $$\langle v,w\rangle\in L\cap([x,x+1)\times[y,y+1)) $$ y $\langle x,y\rangle\in L $ entonces $ v=x $ para que $ w=y $ De ahí que $$L\cap([x,x+1)\times[y,y+1))\subset\{\langle x,y\rangle\}.$$ La inclusión inversa proviene de $ \langle x,y\rangle\in L $ .

Answer 3

Observe que sólo puede determinar la topología hasta una simetría regular de la línea, a menos que especifique una dirección de la línea. Por lo tanto, puede obtener la topología del límite inferior o del límite superior.

Para una prueba más rigurosa, hay que buscar los posibles trazos de los conjuntos abiertos básicos (por tanto, rectángulos) en las líneas.

Para $R_l\times R$ y una línea no vertical, esos son efectivamente intervalos con (hasta) un punto final, y para las líneas verticales, intervalos sin puntos finales, así que tienes razón con estos.

Para $R_l\times R_l$ y las líneas de pendiente positiva, tenemos la misma situación, para las líneas verticales también, pero para las líneas de pendiente negativa no es difícil encontrar que cada punto es una traza de un rectángulo, por lo que el subespacio es discreto.