Relación entre la teoría de la categoría y teoría determinada axiomática

Question

Recientemente he empezado a aprender teoría de la categoría - y tienen una ponderación - preguntando si alguien puede ayudar.

Es posible para dos categorías satisfacer a dos diferentes sistema de conjunto-axioma. ¿Es decir, - es posible que dos categorías $SetZFC$ y $SetZF\neg C$ existe? ¿CA satisfacción uno y el otro lo negando?

¿Y por último y más categorías generalmente son sometidos a cualquier conjunto de axiomas a priorato? ¿o se dan los axiomas como información en una categoría determinada?

Gracias

Answer 1

¿La pregunta parece que me puede describir la diferencia en el lenguaje de las categorías? En $Set(ZFC)$ cada epimorphism se divide, en $Set(ZF\neg C)$ no.

Answer 2

Sí, esto es modelable en teoría de topos. El axioma de elección para toposes dice que cualquier producto infinito de objetos inicial no es no-inicial (una forma de indicarlo) o que cada epi parte (como se señaló anteriormente). Ver ETCS de Bill Lawvere, que tiene una versión choicified y una versión no choicified.

Answer 3

Sí, esto es ciertamente posible.

Tome $\mathrm{ZF}+\mathrm{AD}$ como fundación, donde $\mathrm{AD}$ es el axioma de la determinación. A continuación, podemos refutar el axioma de elección. Ahora vamos a $\mathbf{Set}$ denotar la categoría de todos los conjuntos, con funciones como morfismos. A continuación, $\mathbf{Set}$ satisface: "Algunos epimorphisms no dividir."

También podemos definir la $L$, Goedel del edificable universo, y esto satisface $\mathrm{ZFC}$ (de hecho, se satisface $\mathrm{ZF}+(V=L).$ Véase también el axioma de constructibility). Así que escribe $\mathbf{Set}^L$ para la categoría de todos los edificable se establece con edificable funciones como morfismos. A continuación, $\mathbf{Set}^L$ satisface el enunciado "todo epimorphisms divididos."