Descripción geométrica de un mapa lineal

Question

Tengo el siguiente mapa lineal $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2:$

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}9y-5x\\7y-4x\end{pmatrix}$$

Me piden que lo describa geométricamente.

Puedo ver lo que está sucediendo: el cuadrante superior izquierdo se está comprimiendo en el cuadrante superior derecho, entre las líneas $y=\frac{7}{9}x$ y $y=\frac{4}{5}x$ . Del mismo modo, el cuadrante inferior derecho se encuentra entre las mismas líneas del cuadrante inferior izquierdo. Los demás cuadrantes están estirados de la manera obvia.

Sin embargo, no encuentro los términos adecuados para describirlo bien. A rotación seguido de un Apretar ? Gracias a quien responda.

(Puedo subir una imagen si alguien está interesado, pero las líneas están tan cerca que no será muy claro)

Answer 1

Suponga que tiene el mapa $$ T_2 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9y + x \\ y \end{pmatrix}. $$ Entonces esto se llama cizallamiento horizontal. Hay más información aquí: Mapa de cizallamiento . La cizalla vertical se define de forma similar. Consideremos ahora tres mapas adicionales $$ T_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5x \\ y \end{pmatrix} \\ T_3 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -\frac{1}{5}y \end{pmatrix} \\ T_4 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y + \frac{4}{5}x \end{pmatrix}. $$ Entonces el mapa dado es simplemente $$ T_4T_3T_2T_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9y - 5x \\ 7y - 4x \end{pmatrix}. $$ Así pues, el mapa es una combinación de escala horizontal seguida de una cizalla horizontal, seguida de una escala vertical y, por último, una cizalla vertical. Tenga en cuenta que usted puede escribir transformaciones como esta en términos de transformaciones más simples de muchas maneras diferentes. Así que la que he dado es sólo una forma posible.

Answer 2

Ya que tienes una transformación matricial aquí; $$\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}-5&9\\-4&7\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix},$$ se puede dividir A como una suma de matrices de transformación, donde $A=\begin{bmatrix}-5&9\\-4&7\\\end{bmatrix}$ $$A=\begin{bmatrix}-5&9\\-4&7\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&9\\0&1\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-7&0\\0&5\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\-4&1\\\end{bmatrix}$$ Recordemos que las matrices de transformación de cizalla tienen este aspecto: $$\begin{bmatrix}1&k\\0&1\\\end{bmatrix}(\text{x-axis})\text{ or }\begin{bmatrix}1&0\\k&1\\\end{bmatrix}\text{(y-axis)}$$ Y las matrices de escala tienen este aspecto: $$\begin{bmatrix}s_x&0\\0&s_y\\\end{bmatrix}$$ Entonces, $\begin{bmatrix}1&9\\0&1\\\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}1&0\\-4&1\\\end{bmatrix}$ son transformaciones de cizalladura en los ejes x e y respectivamente y $\begin{bmatrix}-7&0\\0&5\\\end{bmatrix}$ es una transformación de escala.

No es un momento fácil de ver geométricamente como simplemente $A$ pero espero que puedas ver mejor las transformaciones paso a paso.

Answer 3

Una descomposición QR para $A=\begin{bmatrix}-5&9\\-4&7\end{bmatrix}$ es

$$\begin{bmatrix}\frac{-5}{\sqrt{41}}&\frac{-4}{\sqrt{41}}\\\frac{4}{\sqrt{41}}&\frac{-5}{\sqrt{41}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt{41}&\frac{-73}{\sqrt{41}}&\\0&\frac{1}{\sqrt{41}}&\end{bmatrix}$$

y adicionalmente podemos dividir una dilatación así:

$$\begin{bmatrix}\frac{-5}{\sqrt{41}}&\frac{-4}{\sqrt{41}}\\\frac{4}{\sqrt{41}}&\frac{-5}{\sqrt{41}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt{41}&0\\0&\sqrt{41}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac{-73}{41}&\\0&\frac{1}{41}\end{bmatrix}$$

En la última descomposición, llamemos a las matrices $R,D,T$ respectivamente.

Esta descomposición muestra que $A$ es la cartografía triangular $T$ seguido de la dilatación $D$ y luego la rotación $R$ .

El mapeo triangular mantiene el $x$ eje fijo y oscila el $y$ -eje alrededor de una nueva dirección. La dilatación y la reflexión se explican por sí mismas, espero.

También se puede observar que la rotación es una rotación propia sin reflexión, ya que su determinante es positivo. El mapeo triangular hace girar el $y$ eje hacia el tercer cuadrante. La dilatación en este caso amplía el plano en un factor de aproximadamente 6,7. La rotación es de unos 141 grados en sentido contrario a las agujas del reloj.

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Analizándolo con la descomposición del valor singular en su lugar, encontramos dos valores singulares de aproximadamente $13.08$ y $0.08$ . Esto dice que aunque una dirección se contrae, la dirección ortogonal se expande.