¿Por qué $\{1 \dots 9\}$ se comportan así bajo la multiplicación mod $10$ ?

Question

Cuando multiplico el conjunto

$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

por $2$ y tomar el resto mod $10$ , obtengo el siguiente patrón repetido.

$$\{2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8\}$$

La multiplicación por cualquier número par produce un efecto similar (por ejemplo, la multiplicación por $4$ es $\{4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6\}$ ). Pero la multiplicación por números Impares crea en cambio una permutación de los elementos.

$$ \times 3 = \{3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7\}\\ \times 9 = \{9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1\}\\ $$

incluso cuando el número no es primo. Mi pregunta es: ¿por qué? Está claro que tiene que ver con el hecho de que $2$ y $5$ son los factores primos de $10$ pero no estoy seguro de cómo. Específicamente, me pregunto:

• ¿Por qué la multiplicación por $k \pmod{n}$ no son inyectivas cuando $\gcd(k, n) \ne 1$ ?
• ¿Por qué multiplicar por $2$ dividir los enteros mod $10$ en dos grupos idénticos?
• En el caso de la multiplicación por $n$ es inyectiva, ¿hay alguna forma de relacionar $n$ a la permutación causada al multiplicar por ella?

Sé que esto está relacionado con la teoría de grupos, pero no conozco la teoría de grupos, así que agradecería aprender también los nombres de los conceptos que se exponen aquí.

Answer 1

Gran pregunta y tienes razón, tiene mucho que ver con la teoría de grupos. Cuando $gcd(a,n)=1$ Hay números $s, t$ tal que $as+nt=1$ (puedes encontrarlos utilizando el Algoritmo Euclidiano). Pero cuando se reduce esta ecuación mod $n$ , se ve que $a*s=1$ (mod $n$ ). Esto significa que cuando se multiplica cada número de ese conjunto por $a$ este mapa es invertible. Es decir, por el mapa que se obtiene al multiplicar por $s$ . Por eso es inyectiva como has observado.

Creo que debería añadir algo más sobre tus otras preguntas. Si $gcd(a,n)=d>1$ entonces se ve por qué este mapa de multiplicación no es inyectivo. Como evidentemente $a*0=0 (mod n)$ pero también si $d$ es un divisor común, digamos $ds=a$ y $dt=n$ . Entonces $a*t=(ds)t=sn=0$ mod $n$ . Así que $t$ también se asigna a $0$ mostrando que no es inyectiva. Esto es lo que se llama un divisor de cero en la teoría de los anillos.

Las otras seguramente las aprenderás más cuando hagas un curso de álgebra abstracta, pero creo que te resultará más divertido jugar con esas mismas preguntas. Estás a punto de observar algunos resultados muy importantes que se generalizan a los grupos :)

Answer 2

Para añadir algo de informalidad al lado de la respuesta que ha dado @CPM, se trata de que el factor sea coprimo a 10. Si el factor es coprimo, no puede coincidir con su punto de partida hasta $\text{lcm} (factor, 10)$ . Si lo pones en una recta numérica sin hacer el módulo será más claro. Aquí hay uno para el caso de $\times 3$ :

3 y 10 son coprimos, así que después de $0$ no coincidirán hasta que 3*10 = 30. Pueden caber diez 3 en ese espacio, lo que significa que tocarán todos los números. Del mismo modo, $\text{lcm}(2,10)$ es 10, por lo que sólo se repetirá después de llegar a 10, tocando sólo 5 números. Un par de términos que podrían interesarte aquí son "subgrupo" y "generador". No son del todo aplicables en este caso, pero podrían coincidir con los conceptos en los que estás pensando.

Para relacionar una permutación con el elemento, se puede decir trivialmente que, por ejemplo $\times 9$ es la permutación (1->9, 2->8, 3->7, ...), también conocida como $\text{p}_9(x) = 9*x \ (mod \ 10)$ . Dado que esto no es técnicamente un grupo, no se puede asignar limpiamente a un conjunto de permutaciones. $\times 2$ por ejemplo, no es una permutación adecuada porque 2->4, pero también 7->4. Como se observa, este escenario se evita si el módulo tiene tamaño primo.

Una cosa con la que me he divertido es representar conjuntos y operaciones como puntos y flechas (los grafos formales de Cayley son un ejemplo). Si haces esto puedes tener una visión más clara de la relación entre las permutaciones y el conjunto subyacente, independientemente de si es un grupo formal o no. (Por cierto, ahora mismo estoy aprendiendo teoría de grupos. Un libro de álgebra abstracta . Gran libro, por fin un libro de teoría de grupos bastante fácil para mí >.<).

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Código de Mathematica para la línea numérica de arriba:

Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point[Thread[{3 Range[0, 10], 0}]]},
 Ticks -> {5 Range[0, 6]}, PlotRange -> {{0, 30}, {-1, 1}}, Axes -> {True, False}]