Una función lisa $f:S^1\times S^1\to \mathbb R$ debe tener más de dos puntos críticos.

Question

Estoy tratando de mostrar que una función suave $f:S^1\times S^1\to \mathbb R$ debe tener más de dos puntos críticos. Desde $f$ alcanza el máximo y el mínimo, debe tener al menos dos puntos críticos. ¿Cómo se podía demostrar que no pueden ser dos?

Si se considera el vector gradiente de campo $\nabla f$, luego por la de Poincaré de Hopf índice teorema su índice es igual a la característica de Euler de el toro, es decir, se $0$. Por lo tanto, $\nabla f$ tiene un número par de ceros.

Esta pregunta ha sido publicado aquí , pero no ha sido contestada.

Answer 1

El solo cierra los colectores que permiten una función con dos (tal vez degenerado) los puntos críticos son las esferas. En la dimensión 2 es muy fácil de probar.

Uno de estos puntos críticos es máximo y otro mínimo. Cualquier nivel de conjunto es compacto y tiene dimensión 1, por lo que es distinto de la unión de los círculos. Ahora uso un argumento a partir de la teoría de Morse: porque no hay puntos críticos entre dos conjuntos de nivel, el vector gradiente de campo da diffeomorphism de ellos. Así que todo el espacio es el de la suspensión sobre la desunión de la unión de los círculos. No es difícil mostrar que es el colector sólo en el caso de un círculo y, a continuación, es una 2-esfera, no torus.

Answer 2

http://Link.Springer.com/Chapter/10.1007%2F978-1-4757-0280-4_20#Page-1

Me encantó leer este artículo. En él, Taubes proporciona una manera sencilla para entender algunos de los usos de la teoría de Morse. Usted encontrará su explicación para encontrar el tercer punto crítico en un toro, es un enfoque estándar usando el Teorema de pasar la montaña.

Answer 3

Una manera de demostrarlo, es el uso de la Lusternik–Schnirelmann categoría:

Definición: Dejar $A$ ser un cerrado no vacío es subconjunto de un espacio topológico $X$. Definimos la Lusternik–Schnirelmann categoría de $A$ como el número de $$\operatorname{cat}_X(A)=\min\left\{n\in\mathbb{N}:\ A\subset \bigcup_{i=1}^nA_n,\ A_n\ \mbox{is contractible to a point in}\ X,\ A_n\ \mbox{closed}\right \}.$$

La idea detrás de este número, es que está relacionado con el número de puntos críticos de una función de $f$. Por ejemplo, si $X$ es un compacto de múltiples y $f:X\to \mathbb{R}$ es una función suave entonces, el número de puntos críticos de $f$ es mayor que o igual a $\operatorname{cat}_X(X)$.

Es un problema interesante para calcular $\operatorname{cat}_X(X)$ en el caso de $X$ es el toro. Usted puede demostrar que en este caso, $\operatorname{cat}_X(X)=3$.

Hay un montón de referencias sobre este tema, sin embargo, como soy un analista, me gustaría hacer referencia a el libro de Drabek y Milota, en particular, el capítulo 6, sección 6.4 B.