¿Es $[X,Y] \neq 0$ la condición suficiente de $e^{X+Y} \neq e^Xe^Y$?

Question

Sabemos que si X conmuta con Y, donde X e Y son matrices de $n\times n$, entonces tenemos

$$e^{X+Y}=e^Xe^Y$$

¿Sin embargo, podemos concluir que $e^{X+Y} \neq e^Xe^Y$el % si X no conmute con Y? ¿Hay ningún contraejemplo? O probar si es correcto.

Answer 1

Commutativity no es necesario. Deje $$ A = \pmatrix {0, 0\\0 & 2\pi me}, \quad B = \pmatrix {0, 1\\0 & 2\pi i}. $$ Entonces $e^A=e^B=e^{A+B}=I$, lo $$ e ^ Ae ^ B = e ^ ser ^ A = e ^ {A+B}, \quad \text{but $AB\neq BA$}. $$

Answer 2

Otro ejemplo en el que $[X,Y]\neq 0$ pero $e^Xe^Y=e^{X+Y}$.

Deje $a\neq b\wedge c\neq0$ números reales.

$$X=\begin{pmatrix} a&0\\0&b\end{pmatrix}\\Y=\begin{pmatrix} 0&c\\0&0\end{pmatrix}\\ [X,Y]=\begin{pmatrix} 0&c(a-b)\\0&0\end{pmatrix}\neq 0$$

$$e^X=\begin{pmatrix} e^a&0\\0&e^b\end{pmatrix}\\ e^Y=\begin{pmatrix} 1&c\\0&1\end{pmatrix}\\ e^{X+Y}=\begin{pmatrix} e^a&{e^a-e^b\over a-b}c\\0&e^b\end{pmatrix}\\ e^Xe^Y=\begin{pmatrix} e^a&e^ac\\0&e^b\end{pmatrix}$$

Por lo tanto, $e^Xe^Y=e^{X+Y}\Longleftrightarrow (a-b)e^a=e^a-e^b\Longleftrightarrow (a-1)e^a=(b-1)e^b$

Pero usted puede ver fácilmente que la función de $\mathbb{R}\ni x\mapsto (x-1)e^x$ no es inyectiva, por lo que podemos encontrar un adecuado par de $a\neq b$ para hacer que la igualdad se mantenga.

Una "interesante" el hecho es que, desde el mínimo de $(x-1)e^x$$x=0$, esto proporciona contraejemplos $X,Y$ arbitrarly cerca de la matriz cero.

Answer 3

Usando la identidad\begin{align} e^{A + B} = e^{A} \, e^{B} \, e^{- \frac{1}{2}[A, B]} \end {Alinee el} entonces es bastante evidente que si A y B conmuten entonces la identidad se reduce a\begin{align} e^{A+B} = e^{A} \, e^{B}. \end {Alinee el} si A y B no viajan, o tienen alguna propiedad de $[A,B]=C$, donde C es otro operador, o constante o etc, entonces\begin{align} e^{A+B} = e^{A} \, e^{B} \, e^{- \frac{1}{2}\, C}. \end {Alinee el}