Para mí, las principales ventajas de las expansiones multipolares son típicamente conceptuales, en el sentido de que ayudan a encapsular y separar los efectos de la forma de la distribución de la carga y la posición de la carga de prueba en la interacción electrostática entre ambas.
Consideremos, por ejemplo, la interacción entre una carga de prueba en la posición $\mathbf r$ y una distribución de carga $\rho(\mathbf r)$ que está localizada dentro de una esfera de radio $R$ alrededor del origen. El potencial electrostático para tal situación viene dado, en general, por la integral del núcleo de Coulomb sobre la nube de carga, $$ V(\mathbf r)=\int_\Omega\frac{\rho(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|}. \tag 1 $$ Este es un objeto un poco grande y desordenado, ya que requiere llevar a cabo una larga y complicada integral numérica tridimensional cada vez que se quiere saber el valor de $V(\mathbf r)$ .
Entonces, ¿cómo ayuda una expansión multipolar? Voy a omitir todos los detalles de cómo se obtiene, pero es un resultado bastante estándar que cuando $r>R$ puede expresar el potencial en $(1)$ como $$ V(\mathbf r) =\int_\Omega\frac{\rho(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|} =\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l Q_{lm}\frac{Y_{lm}(\theta,\varphi)}{r^l} \tag 2 $$ donde $$ Q_{lm}=\frac{4\pi}{2l+1}\int Y_{lm}^*(\theta',\varphi')r'^l\rho(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r' \tag 3 $$ son los momentos multipolares del sistema. A primera vista, esto parece tan feo como antes, y sólo he cambiado la integral desordenada por una serie desordenada, que todavía tendré que sumar numéricamente cada vez que quiera calcular $V(\mathbf r)$ .
El punto aquí es que en series multipolares como $(2)$ En el caso de la hipótesis de que la contribución de los términos de la ecuación sea menor que la de la ecuación de la ecuación, normalmente son sólo unos pocos términos los que contribuyen de forma significativa, lo que significa que sólo tengo que calcular unos pocos momentos multipolares. Esto es importante. Significa que puedo precalcular sólo algunas de las integrales numéricas tridimensionales completas en $(3)$ y todavía tienen un excelente dominio del potencial.
El punto de precomputación es el importante. He conseguido aislar las pocas cantidades de la distribución de carga - los momentos multipolares $Q_{lm}$ - que controlan el peso de los diferentes componentes multipolares del campo, y después de eso todo lo que necesito hacer es calcular unos cuantos potenciales (que son numérica y conceptualmente simples) y superponerlos para obtener la interacción completa.
Además de necesitar calcular menos integrales, estas integrales tienden a ser también más sencillas y benignas numéricamente, y esto enlaza con la preocupación expresada por Piela en el libro que enlazas. En particular, las integrales en $(1)$ a menudo implican muchos términos que casi se cancelan, lo que significa que se necesita una gran precisión en ambos $a$ y $b$ para obtener sólo una precisión mediocre en $a-b$ .
Para fundamentar esto en un ejemplo, considere dos cargos $\pm q$ en el $z$ eje en $\pm \delta=1\:\mathrm{mm}$ y su interacción con una partícula de prueba en el mismo eje a $z=1\:\mathrm{km}$ . Si quieres calcular el potencial electrostático allí, el equivalente de la integral en $(1)$ es sumar directamente las dos contribuciones: \begin {align} V &= \frac {q}{z+ \delta }- \frac {q}{z- \delta } = \frac {q}{1000.001\: \mathrm m}- \frac {q}{999.999\: \mathrm m} \\ &= \frac {q}{ \mathrm {m}} \left (0.00099999900000999 \cdots -0.00100000100000100 \cdots\right ) \\ & \approx -2 \times 10^{-9} \frac {q}{ \mathrm {m}} \end {align} Esto significa, en particular, que necesito los nueve decimales de cada uno de los potenciales -cinco cifras significativas- para obtener una sola cifra significativa de precisión en el resultado. Si esta es la única manera de hacer las cosas, entonces es una situación de fruncir el ceño y soportarlo, pero si quiero calcular el potencial en un montón de posiciones diferentes, entonces habrá que fruncir el ceño, sobre todo si en lugar de simples sumas tengo que estar haciendo integrales numéricas de alta precisión todo el tiempo, para obtener sólo un par de cifras significativas en mi potencial.
En cambio, si primero calculo el momento dipolar del sistema y uso el campo dipolar, sé que $$Q_{q,z}=q\delta-q(-\delta)=2q\delta=2q\times 1\:\mathrm{mm},$$ por lo que obtengo la misma cifra significativa de precisión para $V$ mientras se utiliza una sola cifra significativa de precisión para $z$ y $\delta$ . Este tipo de titulación numérica, en la que el nivel de precisión deseado en el resultado se corresponde con el nivel de precisión requerido en el cálculo, es el sello de un esquema numérico deseable. Además, sé que el siguiente término de la serie multipolar es del orden de $\delta/z\approx 10^{-6}$ con respecto al término dipolar, así que si quieres un resultado más exacto, entonces para las primeras cinco cifras significativas más o menos sabes que debes concentrarte en el término dipolar, y es sólo después de eso que necesitas incluir los términos de orden superior.
Esto me lleva a otra ventaja conceptual de las expansiones multipolares, y es la separación de escalas que está presente en $(2)$ Cada término de la escalera se escala como una potencia mayor de $1/r$ que su predecesor; además, la parte inferior $l$ Los términos tienden a tener una estructura angular muy "difusa", y sólo en los $l$ que el detalle angular entra en juego. Esta es la forma de precisar la observación de que, desde lejos, un sistema cargado es prácticamente indistinguible de una sola bola de carga, y que los detalles de la distribución de la carga sólo adquieren importancia al acercarse.
Esto establece una jerarquía de aproximaciones que es muy importante en términos de cómo conceptualizamos y aplicamos la electrodinámica en una amplia gama de contextos - desde la electrodinámica en medios continuos hasta la interacción de los átomos y las moléculas con la radiación, pasando por la descripción de las fuerzas intermoleculares, la óptica de enfoque de los microscopios y aceleradores de electrones y una serie de otros escenarios. En todos estos entornos, la separación de las interacciones electromagnéticas en diferentes órdenes multipolares aporta claridad conceptual a la importancia relativa de las diferentes partes de la interacción, y ese es su principal valor.
