Encontrar el de la serie de Laurent

Question

Mientras estudiaba tengo este ejercicio y me gustaría algunos consejos a donde voy mal.

Encontrar el de la Serie de Laurent en $z_0=2i$

$$f(z) = \frac{1+z}{z^2+4}+e^z$$

He intentado lo siguiente:

$$f(z)=(1+z)\frac{1}{(z+2i)(z-2i)}+e^z$$

y la serie de

$$\frac{1}{(z+2i)(z-2i)} = \frac{1}{z-2i}\frac{1}{4i}\frac{1}{1+(\frac{z-2i}{4i})} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(4i)^{k+1}}(z-2i)^{k-1}$$

después de esto estoy perplejo, tratando de poner todo lo que tiene un poder de $z-2i$

$$f(z) = (1+z)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(4i)^{k+1}}(z-2i)^{k-1}+\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{z^k}{k!}$$

Tengo varias preguntas con respecto a esto:

1 - debo tratar de poner $\displaystyle \frac{1+z}{z^2+4}$ tiene una suma de fracciones simples?

2 - hay incluso una Laurent serie de $e^z$ $z_0=b$ desde $e^z$ no tiene ningún tipo de singularidades?

3 - ¿Qué debo hacer para que $(1+z)$?

Answer 1

Hay un par de maneras diferentes que usted puede pensar acerca de esto. Primero de todo, sospecho que usted ya de inmediato saber cómo encontrar la expansión de $e^z$ alrededor de cualquier punto que se desee. [por otro lado, se pregunta si existe una Laurent serie de $e^z$ alrededor de un punto, incluso a pesar de que no tiene ningún tipo de singularidades: - no. Sospecho que usted piensa que Laurent expansiones deben incluir términos negativos grado - pero ese no es el caso]. Así que no te preocupes acerca de ese término, y yo en lugar de considerar sólo el $\dfrac{1+z}{z^2 + 4}$ plazo.

Pero veo que ya te has pasado a través de la derivación de la serie para$\dfrac{1}{(z+2i)(z-2i)}$$z - 2i$. Esa es la parte difícil. Cuando usted mira el $1+z$ plazo, es necesario extraer una $z-2i$ a partir de ella. Así sumar y restar $2i$ (como dijo Jyrki). Por último, ya te has dado cuenta de que $e^z$ no tiene ningún tipo de singularidades, no hay ninguna parte principal. Así que sólo hay que Taylor-estilo de serie expansión...

Answer 2

Puede ser más fácil pensar en el $f(z + 2i)$, y luego considerar la Laurent expansión sobre el origen, para luego pasar por $2i$. En otras palabras, usted tiene $$f(z + 2i) = {1 + z + 2i \over (z + 2i)^2 + 4} + e^{z + 2i}$$ $$= {z + 1 + 2i \over z^2 + 4iz} + e^{2i} e^z$$ La mano derecha término tiene en series de Taylor $e^{2i} \sum_{n=0}^{\infty}{z^n \over n!}$, por lo que contribuirá $e^{2i} \sum_{n=0}^{\infty}{(z - 2i)^n \over n!} = \sum_{n=0}^{\infty}{e^{2i}(z - 2i)^n \over n!} $ a la de la serie de Laurent. El primer término es $(1 + {1 + 2i \over z}){1 \over z + 4i}$, y se puede expandir la ${1 \over z + 4i}$ en la forma habitual de considerar la $|z| < 4$ $|z| > 4$ de los casos y el uso de series geométricas. Uno está hecho, cambio todo por $2i$, al igual que por encima de la exponencial de la serie.