Puede Euler identidad del ser extendida a los cuaterniones?

Question

Euler identidad es $e^{i \pi} + 1 = 0$, un caso especial de la fórmula de Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + \sin\theta$, donde $\theta = \pi$ (la mitad de la vuelta de la unidad de círculo).

Comúnmente se describe como "bella", ya que es simple e incluye un puñado de matemáticos fundamentales constantes y operadores, incluyendo los números complejos.

Hay un correspondiente de Euler de identidad para los cuaterniones?

Especulación: El Tau Manifiesto propone una diferente fundamental círculo constante, $\tau = 2 \pi$, y de la correspondiente alternativa de Euler de identidad, basado en una vuelta completa, el caso especial de $\theta = \tau$:

$e^{i\tau} = 1$

Si esto se extiende a los cuaterniones, es todo más sencillo o más "hermoso"?

Answer 1

Se puede definir $e^x$, $\sin x$ y $\cos x$ en cualquier álgebra de Banach por medio del poder de la serie, por ejemplo, $e^x = \sum x^n/n!$. Entonces, para cualquier raíz cuadrada de $-1$ en el álgebra (que vamos a denotar por $i$, aunque pueden ser muchos, como las hay en los cuaterniones), es una formal consecuencia de la alimentación de la serie que $e^{ix}=\cos x + i \sin x$. Debido a que estas funciones se definen a través de la alimentación de la serie, todo esto es tautológica, y realmente no hay ningún significado profundo.

Hay dos cosas que hacen que la fórmula de Euler interesante sobre los reales. En primer lugar, $e^x$, $\cos x$ y $\sin x$ se define generalmente por no poder serie de métodos, y así de Euler fórmula expresa algún tipo de no-obvia relación. En segundo lugar, estas funciones satisfacen todo tipo de identidades que puede ser mejor entendida en términos de la identidad. Sin embargo, cuando estamos trabajando a través de una no conmutativa álgebra de Banach (como los cuaterniones o $n \times n$ matrices), por lo general, tiene que $e^{a+b}=e^e^b$ sólo cuando se $ab=ba$, y así que es el más útil algebraica de la propiedad de $e^x$ se ha ido, lo que significa que también lo son las interesantes relaciones que quiera.

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Edit:

me gustaría explicar el cálculo hecho en Robert respuesta en términos de lo que he escrito anteriormente.

Deje que $q=a+bi+cj+dk=a+r\frac{bi+cj+dk}{r}$, donde $r^2=b^2+c^2+d^2$, y hemos asumido $r>0$. Tenga en cuenta que $\frac{bi+cj+dk}{r}$ es una raíz cuadrada de $-1$, lo que temporalmente escribir como $\sqrt{-1}$. Desde $un$ desplazamientos con todo, hemos

$$e^q=e^{a+r\sqrt{-1}}=e^e^{i\sqrt{-1}} = e^( \cos(r) + \sqrt{-1} \sin(r))= e^(\cos(r) + \frac{\sin(r)}{r}(bi+cj+dk)).$$

Así que podemos ver que todo lo que sigue a partir de la fórmula estándar $e^{ix}=\cos x + i \sen x.$

Answer 2

Para una cuádrupla $q = a + b i + c j + d k$ con $a,b,c,d$ real y $\sqrt{b^2 + c^2 + d^2} = r > 0$, tenemos $e^q = e^(\cos(r) + \frac{\sin(r)}{r}. (b i + c j + d k))$.

Answer 3

Para cualquier no-elemento real $\theta\in\mathbb H$ la subalgebra generada por $1$ y $\theta$ es isomorfo a los números complejos. Así que, sí, la fórmula de Euler tiene (se establecía en Robert Israel de la respuesta), pero no da nada nuevo, esencialmente.

Answer 4

(Es más bien un comentario y sigue directamente de las anteriores respuestas)

Podríamos decir brevemente el uso de Hamilton terminología:

Para cualquier "derecho de la unidad de cuaterniones" $r$ (es decir, $r=xi +yj+zk$, $x^2+y^2+z^2=1$) es cierto un análogo de la identidad de Euler $e^{i\pi}+1 = 0$.

Derecho cuaterniones ahora también llamado "imaginario puro".

Answer 5

Respecto a la segunda cuestión, la versión revisada del formulario de la identidad de Euler usando $\tau$ transmite estrictamente menos información que la identidad original, y todavía sufre de una antinatural elección de la raíz cuadrada de $-1$ (no es gran cosa, excepto cuando las personas hacen que las demandas de la belleza o de la simplicidad). En el complejo mundo, es más natural (para mí) para definir $\mathbb{Z}(1)$ como el núcleo de la exponenciación, y la frase de Euler identidad como la afirmación de que $\mathbb{Z}(1)$ es generada por $2\pi$ o $\tau$) veces la raíz cuadrada de menos uno.

(Un problema con el uso general de este $\tau$ es que es muy engorroso en la teoría de las formas modulares, donde $\tau$ ya está reservado como el de coordenadas en el complejo de la mitad superior del plano -. A menudo uno de los conjuntos $q = e^{2 \pi i \tau}$ como una serie de Fourier de la variable, y esto se ve muy mal cuando reemplace $2\pi$ $\tau$.)

Respecto a tu primera pregunta, en un no conmutativa topológico anillo como el cuaterniones, exponenciación no es un homomorphism (y el núcleo no es un grupo). Sin embargo, la cobertura real de $1$ y $i$ (o cualquier otra opción de la raíz cuadrada de $-1$) es isomorfo a los números complejos, y la restricción de la exponenciación a este sub-anillo es un homomorphism de los aditivos de grupo para el grupo multiplicativo. Euler de la identidad por lo tanto, sostiene, pero posiblemente por tontas razones.