Integral $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2007^x+1}\cdot \frac{\sin^{2008}x}{\sin^{2008}x+\cos^{2008}x}dx$

Question

Estoy tratando de resolver esta integral $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2007^x+1}\cdot \frac{\sin^{2008}x}{\sin^{2008}x+\cos^{2008}x}dx$$ Existe una forma cerrada a pesar del aspecto del integrando. Este problema es de unos viejos cursos de formación de la OMI en el instituto. No estoy seguro de cómo resolverlo. La única información que puede ser de ayuda es $$\sin x=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \cos x=\sum_{n=1}^\infty \frac{ x^{2n}}{(2n)!} \quad \forall \ x$$ Gracias, estoy buscando una solución completa, no una descripción de lo que hay que hacer.

Answer 1

Separar en dos partes, $-\pi/2$ a $0$ y $0$ a $\pi/2$ .

Para la integral de $-\pi/2$ a $0$ , hacer el cambio de variable $t=-x$ . Obtenemos $$\int_0^{\pi/2} \frac{2007^t}{2007^t+1} \frac{\sin^{2008}t}{\sin^{2008} t+\cos^{2008} t}\,dt.$$ Vuelva a cambiar la variable a $x$ y añadir a la integral de $0$ a $\pi/2$ Obtenemos $$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^{2008}x}{\sin^{2008} x+\cos^{2008} x}\,dx.\tag{1}$$

¡Progreso! Ahora divide la integral (1) en la integral de $0$ a $\pi/4$ y la integral de $\pi/4$ a $\pi/2$ .

Para la integral de $\pi/4$ a $\pi/2$ , dejemos que $u=\pi/2-x$ y utilizar casi el mismo truco que ya utilizamos. La integral de $\pi/4$ a $\pi/2$ resulta ser $$\int_0^{\pi/4}\frac{\cos^{2008}u}{\cos^{2008} u+\sin^{2008} u}\,du.$$ Cambia la variable por $x$ y añadir a la integral de $0$ a $\pi/4$ . Terminamos con $$\int_0^{\pi/4} 1\,dx,$$ que no es difícil.

Answer 2

Aplicando $\displaystyle\int_c^df(x)dx=\int_c^df(c+d-x)\ \ \ \ (1)dx$

$$I=\int_{-b}^b\frac1{a^x+1}\cdot\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx$$

$$=\int_{-b}^b\frac1{a^{-b+b-x}+1}\cdot\frac{\left(\sin(-b+b-x)\right)^{2n}}{\left(\cos(-b+b-x)\right)^{2n}+\left(\sin(-b+b-x)\right)^{2n}}dx$$

$$=\int_{-b}^b\frac{a^x}{a^x+1}\cdot\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx$$ como $\displaystyle\sin(-x)=-\sin x,\cos(-x)=\cos x$

$$\implies I+I=\int_{-b}^b\frac1{a^x+1}\cdot\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx+\int_{-b}^b\frac{a^x}{a^x+1}\cdot\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx$$

$$2I=\int_{-b}^b1\cdot\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx$$

Ahora, el ajuste $b=\dfrac\pi2,$

$$2I=\int_{-\dfrac\pi2}^{\dfrac\pi2}\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx$$

$$=\int_{-\dfrac\pi2}^0\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx +\int_0^{\dfrac\pi2}\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx$$

$$\text{For }I_1=\int_{-\dfrac\pi2}^0\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx$$

si $g(x)=\sin^{2n}x,g\left(-\dfrac\pi2+0-x\right)=\cdots=\cos^{2n}x$

utilizando $(1),$ $$\text{For }I_1=\int_{-\dfrac\pi2}^0\frac{g(x)}{g\left(-\dfrac\pi2+0-x\right)+g(x)}dx=\int_{-\dfrac\pi2}^0\frac{g\left(-\dfrac\pi2+0-x\right)}{g(x)+g\left(-\dfrac\pi2+0-x\right)}dx$$

$$\implies I_1+I_1=\int_{-\dfrac\pi2}^0 dx=\cdots$$

Del mismo modo, para $$I_2=\int_0^{\dfrac\pi2}\frac{\sin^{2n}x}{\cos^{2n}x+\sin^{2n}x}dx$$