Impulsado por esta pregunta Por supuesto, el axioma de constructibilidad de Godel implica que $P(S)$ es mínima para cualquier conjunto $S$ y así responde fácilmente a la pregunta del tamaño del conjunto de energía del continuo en $L$ . El Máximo de Martin es el único otro principio que conozco que tiene implicaciones en el tamaño del continuo. El Infinito Superior y un par de otros libros de teoría de conjuntos y la ocasional inmersión en Wikipedia), y no me queda claro cuáles son sus implicaciones para las operaciones de conjuntos de poder en los cardenales superiores, en particular $2^{ \mathbb {R}} (=2^{ \aleph_2 })$ - mi impresión es que implica que $2^{ \aleph_1 } = \aleph_2 $ pero tampoco estoy 100% seguro en ese aspecto. ¿Alguien puede señalar una buena información sobre las implicaciones de la MM para otras cardinalidades que no sean sólo $ \mathfrak {c}$ ?
Respuestas
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Se sabe que el Máximo de Martin es consistente en relación a un cardenal supercompacto $ \kappa $ por un apoyo contable revisado que obliga a la iteración que resulta en $ \mathfrak {c}= \aleph_2 = \kappa $ . Este forzamiento no afecta a los valores de la función de continuidad $ \gamma\mapsto 2^ \gamma $ para valores de $ \gamma $ en $ \kappa $ o por encima. Pero se sabe por la preparación de Laver que si $ \kappa $ es supercompacto, entonces hay una extensión forzada en la que la supercompactibilidad de $ \kappa $ es preservado por todos ${ \lt } \kappa $ -dirigido a la fuerza cerrada. Dicho forzamiento puede modificar los valores de la función de continuidad en $ \kappa $ o superior para estar de acuerdo con cualquier patrón que se ajuste al teorema de Easton.
Así que combinando los dos hechos, si es consistente con el ZFC que hay un cardenal supercompacto, entonces es consistente con el ZFC que tiene la MM, y la función de continuidad tiene cualquier patrón deseado en $ \aleph_2 $ y más arriba, de acuerdo con el teorema de Easton. En particular, MM no determina el valor de $2^ \mathbb {R}$ .
Sobre el tamaño de $2^{ \mathfrak c}$ : MM es preservado por $ \omega_2 $ -dirigido a la fuerza cerrada, para que podamos cambiar el tamaño de $2^{ \aleph_2 }$ forzando directamente sobre un modelo de MM y preservando el MM. Este es un resultado de Paul Larson. (Para contrastar con la respuesta de Joel: Él muestra cómo podemos asegurar modelos de MM con diferentes tamaños para $2^{ \aleph_2 }$ manipulando la función exponencial por encima de un supercompacto y luego forzando a MM. El argumento de Pablo nos permite manipular el cardenal relevante sin importar cómo se obtiene originalmente el modelo de MM).
En cuanto a las implicaciones más allá del continuo: MM implica PFA, y PFA implica SCH, la hipótesis de los cardenales singulares (un resultado reciente muy agradable de Matteo Viale), por lo que tiene una influencia directa en los cardenales (singulares) más grandes que $ \aleph_2 $ . Por ejemplo, esto implica que $2^ \kappa = \kappa ^+$ se sostiene en modelos de MM para una clase adecuada de cardenales $ \kappa $ .
(Lo mismo ocurre con el ZFC por encima de un fuerte compacto.)
La PFA también implica el fracaso de $ \square_\kappa $ en absoluto $ \kappa > \omega $ . Esto fue mostrado por primera vez por Todorcevic.
(De nuevo, esto también se aplica a los cardenales fuertemente compactos. Todo esto es una evidencia indirecta de que la fuerza del PFA debería estar cerca de una fuerte compactación, y que el método que conocemos para establecer su consistencia es esencialmente el único método posible. Hay resultados recientes de Matteo Viale y Christoph Weiss que refuerzan esta conexión, mostrando que el estándar El argumento de fuerza requiere una supercompactación. Por otra parte, también hay recientes resultados de Itay Neeman exhibiendo un método diferente de forzar el PFA, aunque también desde un supercompacto y usando la propiedad).
Para un resultado que se desprende de MM y no de PFA: Magidor mostró que MM implica que el principio "cuadrado muy débil" falla en los singulares de la cofinalidad $ \omega $ . Esto muestra que la combinatoria cardinal singular en los modelos de MM es muy interesante (y todavía no se entiende bien.)
