La probabilidad de conseguir un trabajo cuando se aplica para los 3 lugares

Question

Tengo el siguiente problema.

Se aplican para los trabajos y saber que si usted envía su solicitud, a continuación, cada puesto de trabajo procedimiento de nombramiento tiene dos etapas:

1. Usted puede ser invitado o no invitados a una entrevista personal y, a continuación,
2. Usted puede estar seleccionado o no seleccionado para un puesto de trabajo.

Suponiendo que usted no tiene más información sobre el proceso y los criterios de selección, por favor, calcular a priori la probabilidad de obtener al menos un puesto de trabajo a ofrecer después de enviar su solicitud a tres lugares diferentes.

Mis pensamientos

Comencé a pensar acerca de lo que los eventos son independientes y que son dependientes.

Pensé que ser capaz de conseguir un trabajo de la place $A$ es un evento independiente de ser capaz de conseguir un trabajo de la place $B$. Por esta razón, decidí considerar de forma independiente el problema ¿cuál es la probabilidad de obtener un puesto de trabajo de un lugar a $X$.

Ahora bien, la probabilidad de ser llamado para ir a la entrevista (vamos a llamar a este evento$I$)$\frac{1}{2}$, en otras palabras $P(I) = \frac{1}{2}$, debido a que puede ser llamado o no.

Entonces, la probabilidad de conseguir el puesto de trabajo (vamos a llamar a este evento $J$) depende estrictamente de evento $I$, debido a que, por ejemplo, usted no puede conseguir el trabajo, si no en primer lugar ir a la entrevista.

Lo que realmente quiero saber es la probabilidad de ser llamados y conseguir el trabajo, en otras palabras, queremos saber $P(I \text{ and } J)$. Dado que estos eventos son dependientes, podemos utilizar la regla de que $P(A \text{ and } B) = P(A) \cdot P(B | A)$ donde $P(B|A)$ es la probabilidad de evento $B$ ocurre dado el hecho de que el evento $A$ que ha sucedido.

La aplicación de esta regla a mi caso, tengo que encontrar a $P(J | I)$, porque ya sé que $P(I) = \frac{1}{2}$. Estaba pensando que esta probabilidad es $\frac{1}{4}$. Por qué? Básicamente, de $\frac{1}{2}$ de las posibilidades restantes tenemos la mitad de las posibilidades de conseguir el trabajo, por lo $\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$.

Ahora puedo calcular el $P(I \text{ and } J)$, que debe ser $P(I) \cdot P(J | I) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

Si mis razonamientos son correctos, este debe representar la probabilidad de obtener un trabajo desde un solo lugar. Ya que yo soy la aplicación de tres diferentes puestos de trabajo (que no son dependientes entre sí), entonces tengo más posibilidades de $\frac{1}{8}$, por lo que pensé que podría suma las posibilidades de conseguir un puesto de trabajo para cada lugar, por lo tanto sería mi respuesta $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

¿Qué estoy haciendo mal, ¿qué estoy haciendo correcto? O puedo mejorar algo?

Answer 1

Creo que puedo encontrar esta línea de razonamiento, en vez demasiado especulativo, me temo. :-)

En primer lugar, usted afirma que $P(I) = 1/2$. No veo ninguna simetría que justifica este tipo de aplicación del principio de indiferencia; no es como si la única diferencia entre ser seleccionado para una entrevista y no ser seleccionado es la oportunidad de ir a la entrevista. Desde el trabajo del cartel de la perspectiva, que tienen un tiempo limitado para entrevistar a los candidatos, si cinco personas aplican para la publicación, o quinientos.

Pero supongamos que nos dejemos eso de lado por el momento. Luego de afirmar que el $P(J \mid I) = 1/4$, en el supuesto de que una vez que la mitad de las posibilidades que se han eliminado (presumiblemente, el $\neg I$ parte), sólo la mitad de la mitad permanecen, o $1/4$. Pero $P(J \mid I)$ es ya una probabilidad condicional-que expresa la probabilidad de que el más específico de evento compuesto $I$ e $J$ como una fracción de la probabilidad de la condición de $I$! Si va a aplicar el principio de la indiferencia de nuevo, usted debe tratar a las dos posibilidades igualmente; es decir, $P(J \mid I) = P(\neg J \mid I)$. Y puesto que, por medio excluido, $P(J \mid I)+P(\neg J \mid I) = 1$ necesariamente, debe ser el caso de que

$$ P(J \mid I) = P(\neg J \mid I) = \frac{1}{2} $$

En su lugar, usted tiene

$$ P(J \mid I) = \frac{1}{4} $$

lo que implica

$$ P(\neg J \mid I) = \frac{3}{4} $$

Esto no tiene más fundamento que la afirmación de que $P(I) = 1/2$, y viola el principio de indiferencia para el arranque. (Por supuesto, me dijo que el principio de indiferencia no se debe aplicar aquí, pero ya que usted parece querer hacerlo...)

En otras palabras, cuando usted llegue a $1/4$, determinar la probabilidad de que usted consiga la entrevista y obtener el puesto de trabajo ( $P(I, J)$ ), no la probabilidad de que usted consigue el trabajo , dado que se consiguió la entrevista (que es $P(J \mid I)$). Si desea analizar el problema de esa manera, no hay nada de malo con eso (modulo indiferencia), pero entonces usted debe dejar que el valor solos, y no se multiplican, de nuevo, la probabilidad de que usted consiga la entrevista. Que ya se han contabilizado en la probabilidad conjunta.

Creo que lo más que podemos decir al respecto es la siguiente: Supongamos que la probabilidad de ser seleccionado para un determinado trabajo de la publicación de es $\sigma$. Luego, por la independencia, la probabilidad de ser seleccionado para al menos uno de los dos anuncios de trabajo es $1-(1-\sigma)^2$; la probabilidad de ser seleccionado para al menos uno de los tres anuncios de trabajo es $1-(1-\sigma)^3$; y la probabilidad de ser seleccionado para al menos uno de $k$ anuncios de trabajo es $1-(1-\sigma)^k$. Incluso la independencia me parece bastante atrevido, pero puedo ver un caso de lo mejor que puedo por la indiferencia.

Answer 2

Suponiendo que los números son correctos ( $1/2$ $1/4$ ) de todo y si bastante bien, excepto la última frase y la primera frase de sus pensamientos.

Deje $A$-es la obtención de trabajo a partir de la primera compañía, $B$ - a partir de la segunda (por ahora sólo con dos puestos de trabajo). A continuación, sólo hacer esto: $$P\{A\cup B\}=P\{A\}+P\{B\}$$

Y aquí el problema surge, no se puede dividir, debido a que estos eventos tienen algunas intersecciones. Así, la forma correcta es: $$P\{A\cup B\}=P\{A\}+P\{B\}-P\{AB\}. $$

Y ahora llegamos a la primera frase, donde se supone que estos eventos son independientes, pero están? La respuesta sería SÍ, pero no es tan trivial.

Como ya mencione $P\{AB\}=P\{A\}P\{B|A\}=\frac{1}{8}P\{B|A\}.$ Ahora necesitamos contar probabilidad de obtener un trabajo B, si nosotros ahora que tenemos Un trabajo? Aquí es más claro (al menos para mí) de que estos eventos son realmente independientes. $$ P\{AB\}=\frac{1}{64}=P\{A\}P\{B\}.$$

Y ahora podemos calcular por dos trabajos: $$P\{A\cup B\}=\frac{15}{64} $$

Ahora vamos a decir que tenemos $n$ independiente de puestos de trabajo a aplicar. Asumir que todos los trabajos que hemos mismos números que se mencionan anteriormente. Hemos de inclusión-exclusión de la fórmula (https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle):

$$P\{\bigcup_{k=1}^nA_k\}=\sum_{k=1}^nP\{A_k\}-\sum_{1\leq k<l\leq n}P\{A_kA_l\}+...+(-1)^{n-1}P\{A_1A_2...A_n\}. $$

Ese es el caso más general y en su exacta con los números dados y $n=3$ podemos calcular, $C$- evento de conseguir el tercer puesto de trabajo:

$$P\{A\cup B\cup C\}=\frac{3}{8}-{3\choose 2}\frac{1}{64}+\frac{1}{512}=\frac{169}{512}<\frac{3}{8}=\frac{192}{512}. $$

Espero que ahora es un poco más clara.

Answer 3

Edit. Su razonamiento es casi perfecto para el único caso de aplicación. Yo diría que $P(J|I) = \frac 12$ si hay igualdad de posibilidades de que hacer o no conseguir el trabajo una vez en la entrevista, logrando $P(J) = P(J|I)P(I) + P(J|I^c)P(I^c) = \frac 12 \cdot \frac 12 + 0$ por la ley de total de las probabilidades.

De todos modos, voy a seguir con el $1/8$ para esta explicación.

¿Qué salió mal? El problema con libremente la adición de la $1/8$s fue que el $1/8$ de probabilidades de conseguir el primer trabajo no toma en cuenta lo que sucede con el resto de aplicaciones, lo que incluye por defecto los escenarios donde conseguir este trabajo y uno de los otros, este puesto de trabajo y dos de los otros, etc.

Sin embargo, usted todavía puede usar lo que ya calculado. Un poco más de la notación de ayuda en la toma de las declaraciones más explícitas:

Solución. Deje $J$ el monto total de las ofertas de trabajo que se obtiene. Además, vamos a $X_1, X_2$ $X_3$ ser variables aleatorias que representan la cantidad de ofertas de trabajo desde el primer, segundo y tercer lugares, así que toma valores en $\{0,1\}$.

Con esta notación, la probabilidad de obtener al menos un puesto de trabajo es

$$P(J>0) = P(J=1) + P(J=2) + P(J=3).$$

Tenga en cuenta que puede agregar estas probabilidades porque estos eventos son mutuamente excluyentes. Utilizando sus cálculos, hay un $1/8$ de probabilidad de obtener un solo puesto de trabajo, así que, asumiendo que el $\{X_i\}$ son independientes: $$P(J=1) = \sum_i P(X_i = 1, X_j=0, X_k=0) = 3\cdot\frac18\cdot\frac78\cdot\frac78 = 3\cdot\frac{7^2}{8^3}.$$

Aquí $j$ $k$ están sueltos notación para "los otros dos índices en $\{1,2,3\}$." Del mismo modo,hay tres maneras de obtener un único rechazo, así $$P(J=2) = \sum_i P(X_i = 0, X_j=1, X_k=1) = 3\cdot\frac78\cdot\frac18\cdot\frac18 = 3\cdot\frac{7}{8^3},$$ y, como sólo hay una manera de conseguir tres ofertas, $$P(J=3) = \frac18\cdot\frac18\cdot\frac18 = \frac{1}{8^3}.$$

Finalmente, el resultado es $$P(J>0) = \frac{3\cdot7^2+3\cdot7+1}{8^3} = \frac{169}{512} .$$

En general. Puede ayudar a que usted sabe que la variable $J$, lo que nos define sigue una distribución binomial con $p=1/8$ $n=3.$

Si quieres saber la respuesta a por $p=1/4$ (o cualquier otra probabilidad de obtener un único trabajo) o por un número diferente $n$ de las aplicaciones se puede pedir Wolfram Alpha. (Bastante limpio, ¿eh?)