Hay una forma cerrada para la siguiente integral?
$$\int_0^1 \frac{\log(x)}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{x^2+2+2\sqrt{2}}}dx$$
Es aproximadamente igual a $-0.48878092308456029189008$.
Mathematica es incapaz de encontrar una forma cerrada para esta integral.
Respuesta
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Chen Wang
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Dejamos $$I(a,b)=\int^1_0\frac{x^{2a}}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{x^2+b}}dx$$ así que OP integral es igual a $\frac12\frac{d}{da}I(0,2+2\sqrt2)$.
De acuerdo con Mathematica, tenemos $$I(a,b)=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt b}\frac{\Gamma(a,+1/2)}{\Gamma(a+1)}{}_2F_1(\frac12,un+\frac12;un+1\mid-1/b)\\ =\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt b}\frac{\Gamma(a,+1/2)}{\Gamma(a+1)}(1+\frac1b)^{-1/2}{}_2F_1(\frac12,\frac12;un+1\mid\frac{1}{b+1}) =\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt{b+1}}\frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a+1)}{}_2F_1(\frac12,\frac12;a+1\mid\frac{1}{b+1}).$$
Actualmente estoy buscando para un adecuado transforma relacionar $I(a,b)$$I(-a,b)$. Parece DLMF15.8.4 será un buen candidato.
Edit: el Uso de DLMF15.8.4, tenemos $$\sin(a\pi)\sqrt{b}I(a,b)=\cos(a\pi)I(-a,1/b)-b^aI(a,1/b).$$ Tomando la derivada con respecto a $a$: $$\sin(a\pi)\sqrt{b}I_a(a,b)+\pi\cos(a\pi)\sqrt{b}I(a,b)=-\cos(a\pi)I_a(-a,1/b)-\pi\sin(a\pi)I(-a,1/b)-b^aI_a(a,1/b)+b^a\log bI(a,1/b).$$
Deje $a=0$:
$$\pi\sqrt{b}I(0,b)=-I_a(0,1/b)-I_a(0,1/b)-\log bI(0,1/b).$$
Tomando nota de $$I(0,b)=\frac{K\left(\sqrt{\frac{1}{1+b}}\right)}{\sqrt{1+b}},$$ we have $$I_a(0,1/b)=-\frac12(\pi\sqrt{b}I(0,b)+\log bI(0,1/b))\\ =-\frac12\sqrt{\frac{b}{1+b}}\left(\pi K\left(\sqrt{\frac{1}{1+b}}\right)+\log b K\left(\sqrt{\frac{b}{1+b}}\right)\right).$$
Por lo tanto, podemos obtener OP integral tomando $b=1/(2+2\sqrt2)=\frac{\sqrt2-1}{2}$:
$$I=\frac12I_a(0,2+2\sqrt2)=-\frac{\sqrt2-1}{4}\left(\pi K\left(\sqrt{2\sqrt2-2}\right)+\log\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right) K\left(\sqrt2-1\right)\right)\\ =-\frac{\sqrt2-1}{4}\left(\pi K'\left(\sqrt2-1\right)-\log\left(2\sqrt2+2\right) K\left(\sqrt2-1\right)\right).$$
Ahora tenga en cuenta que $\sqrt2-1=k_2$ es la segunda Integral Elíptica de Valor Singular. Utilizando el valor de $K(k_2)$ no, llegamos a la conclusión de que $$I=-\frac{\sqrt2-1}{4}\left(\pi K'\left(\sqrt2-1\right)-\log\left(2\sqrt2+2\right) K\left(\sqrt2-1\right)\right)\\ =-\frac{\sqrt2-1}{4}K(k_2)\left(\pi \frac{K'(k_2)}{K(k_2)}-\log\left(2\sqrt2+2\right)\right)\\ =-\frac{\sqrt2-1}{4}\frac{\Gamma(\tfrac18)\Gamma(\tfrac38)\sqrt{\sqrt2+1}}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\left(\sqrt{2}\pi-\log\left(2\sqrt2+2\right)\right)\\ =-\frac{\Gamma(\tfrac18)\Gamma(\tfrac38)\sqrt{\sqrt2-1}}{2^{21/4}\sqrt{\pi}}\left(\sqrt{2}\pi-\log\left(2\sqrt2+2\right)\right).$$
