Por qué $E$ es la clausura algebraica de $K$?

Question

Deje $E/K$ ser un separables, algebraicas extensión de tal forma que cada noncostant polinomio en $K[x]$ tiene una raíz en $E$, $E$ algebraica de cierre de $K$. Me podrían ayudar a resolver este ejercicio? (hay esta sugerencia: use el elemento primitivo teorema).

EDIT: bueno, es suficiente para demostrar $E$ es algebraicamente cerrado. Así que tome $f(x)\in E[x]$ quiero demostrar que tiene una raíz en $E$. Una de las cosas que yo estaba tratando es demostrar que el polinomio mínimo de a $\alpha$ $K$ divide $f(x)$, pero no pude, creo que no es cierto.

Answer 1

Basta probar que todo polinomio irreducible en $K[X]$ se divide en E(żpor qué?). Deje $f(X)$ ser un polinomio irreducible en $K[X]$. Por la asunción, $f(X)$ tiene una raíz en $E$. Desde $E$ es separable sobre $K$, $f(X)$ no tiene raíces múltiples en una clausura algebraica de $E$. Deje $\alpha_1, ..., \alpha_n$ ser todas las raíces de $f(X)$ en una clausura algebraica de $E$. Poner L = $K(\alpha_1, ..., \alpha_n)$. Desde $L/K$ es separable, por los primitivos elemento teorema, existe un elemento $\omega$ $L$ tal que $L = K(\omega)$. Deje $g(X)$ ser el polinomio mínimo de a$\omega$$K[X]$. Por la asunción, $g(X)$ tiene una raíz $\lambda$ en E. Desde $L/K$ es una extensión de Galois, $L = K(\omega) = K(\lambda)$. Por lo tanto $L ⊂ E$ como se desee.