El número de puntos de cuadrícula cerca de un círculo.

Question

Hay un círculo con el centro $(0, 0)$ y radio de $r$. Deje $n$ el número de puntos de la malla en el interior o en el círculo que al menos uno de sus vecinos (arriba, abajo, izquierda, derecha) de los puntos de cuadrícula está fuera del círculo.

Con mi equipo, tengo un poco de $r-n$ pares de: $$ \begin{array}{c|lcr} r&n\\ \hline 1&4\\ 2&8\\ 3&16\\ 4&20\\ 5&28\\ 10&56\\ 10^2&564\\ 10^3&5656\\ 10^4&56568\\ 10^5&565684\\ 10^6&5656852\\ 10^7&56568540\\ 10^8&565685424\\ 10^9&5656854248\\ 10^{10}&56568542492\\ \end{array} $$

Y me encontré con que $$\lim_{r\to\infty}\frac nr\approx5.6568542\approx4\sqrt2$$

Mi pregunta es: cómo probar la siguiente ecuación? $$\lim_{r\to\infty}\frac nr=4\sqrt2$$

Answer 1

Veamos el 1er cuadrante (y luego se multiplica por 4). Para cada una de las $x$ valor de$1$$r\sqrt2/2$, no es exactamente una $y$-valor, y es mayor que $r\sqrt2/2$. Para cada una de las $y$-valor de$1$$\sqrt2/2$, hay exactamente una $x$-valor, y es mayor que $r\sqrt2/2$. Así que le da $r\sqrt2$ puntos en el primer cuadrante, y demuestra su observación.

Answer 2

He aquí una perspectiva ligeramente diferente. El $L^\infty$ longitud de arco de la (ordinario) círculo de radio $r$ es exactamente $(4\sqrt2)r$. Así que cuando definimos $n$ mediante el uso de una rejilla discreta, obtenemos la aproximación $n=(4\sqrt2)r+O(1)$, e $$\lim_{r\to\infty}\frac{(4\sqrt2)r+O(1)}{r}=4\sqrt2.$$

(Esta es una sugerente argumento, en lugar de una prueba plena. No sé el preciso hipótesis que se tendría que trabajar con la más general de las curvas.)