Es el teorema fundamental del cálculo independiente de ZF?

Question

Por el teorema fundamental del cálculo me refiero a la siguiente.

Teorema: Dejar que $B$ a ser un espacio de Banach y $f : [a, b] \a B$ ser continuamente una función derivable (esto significa que podemos escribir $f(x + h) = f(x) + h f'(x) + o(|h|)$ para algunos continua de la función $f' : [a, b] \a B$). Entonces

$$\int_a^b f'(t) \, dt = f(b) - f(a).$$

(Esta integral puede ser definido en forma razonable, por ejemplo, uno puede usar la integral de Bochner o una suma de Riemann.)

Este teorema se puede demostrar a partir de Hahn-Banach, que permite reducir para el caso $B = \mathbb{R}$. Sin embargo, de Hahn-Banach es independiente de ZF.

Recientemente he tratado de demostrar este teorema, sin Hahn-Banach y se encontró que no podía hacerlo. El estándar de prueba en el caso de que $B = \mathbb{R}$ se basa en el teorema del valor, que no es aplicable aquí. Sólo puedo probarlo (creo), bajo la hipótesis más fuerte, por ejemplo, $f'$ continuamente diferenciable o de Lipschitz.

Así que tengo curiosidad por saber si este teorema es cierto incluso en la ausencia de Hahn-Banach. Es probable que yo soy sólo faltan algunos buen argumento que impliquen continuidad uniforme, pero si no estoy, que sería bueno saberlo.

Answer 1

Creo que una de las pruebas obras.

1. Deje que $F(x) := \intop_a^x f^\prime (t) dt$. Entonces $F$ es derivable y su derivada es de $f^\prime$ debido a un estándar de estimación que no tiene nada que ver con la CA.

2. $(F-f)^\prime = 0$, por lo tanto es constante. Esto se reduce al caso unidimensional: cuenta solo $g := \Vert F-f-F(a)+f(a) \Vert$. Es una verdadera función con valores de cero la derivada, y $g(a)=0$, por lo que podemos utilizar la habitual "unidimensional" valor medio teorema.

Answer 2

Reclamo: Dejar que $g:[a,b]\a B$ ser diferenciable, con $g'(t)=0$ para todo $t\in[a,b]$. Entonces $g(t)$ es una constante.

Prueba: Revisión $\epsilon>0$. Por cada $t\in[a,b]$, podemos encontrar $\delta_t>0$ tales que $0<|h|<\delta_t\Rightarrow\|g(t+h)-g(t)\|<\epsilon|h|$. El abierto de los intervalos de $(t-\delta_t,t+\delta_t)$ cubrir $[a,b]$, por lo que hay un número finito de subcover $\{(t_i-\delta_{t_i},t_i+\delta_{t_i}):1\leq i\leq N\}$. Podemos elegir nuestra etiquetado de modo que $t_1<t_2<\ldots<t_N$. Ahora, debemos ser capaces de encontrar los puntos en $x_0,\ldots,x_N$ con $x_0=un<t_1<x_1<t_2<\ldots<t_N<x_N=b$, satisfaciendo $|x_i-t_i|<\delta_i$ y $|x_{i-1}-t_i|<\delta_i$ para $1\leq i\leq$ N. Ahora, \begin{eqnarray*} \|g(b)-g(a)\|&=&\left\|\sum_{i=1}^N(g(x_i)-g(t_{i}))-(g(t_i)-g(x_{i-1}))\right\|\\ &<&\sum_{i=1}^N \epsilon (x_i-t_i)+\epsilon(t_i-x_{i-1})\\ &=&\epsilon(b-a) \end{eqnarray*} Desde $\epsilon$ es arbitrario, tenemos $g(b)=g(a)$. Este argumento funciona en cualquier subinterval, por lo que $g(t)$ es constante.

Podemos aplicar lo anterior con $g(x):=\int_a^xf'(t)\,dt-(f(x)-f(a))$. Creo que se puede verificar directamente que $g'(x)=0$ para todo $x$ y $g(a)=0$, de modo que $g(x)$ debe ser idéntica a 0.