Evaluación de $\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}$

Question

Duro como introducción al análisis para principiantes (manual holandés - soy belga). De nuevo ( $n$ ) significa que el índice $n$ , $x_1 = \sqrt6$ , $x_{n+1} = \sqrt{6+x_n}$

1. Pregunta:

$$|x_{n+1} - 3| \le 1/5 \cdot |x_n - 3|$$

Para mí esto significa que $3$ como "límite", necesitamos encontrar que la distancia entre $x_{n+1}$ y el "límite" es $1/5$ la distancia entre el $x_n$ y el límite. ¿Dónde está el $1/5$ ¿de dónde viene?

1. Demostrar que $|x_n - 3|\le (1/5)^{n-1}$

2. demostrar que la secuencia converge a $3$ .

ps: Cuando estudié matemáticas en 1980. pasamos rápidamente a los espacios métricos, así que estos tiempos de mente de cálculo no son nada comparados con aquellos tiempos. Pero aun así, como no aprobé entonces, me gustaría volver a empezar con una nueva base. Gracias por toda la ayuda. Si sabéis donde se puede estudiar matemáticas en comunidad en la red, siempre es bienvenido.

Answer 1

Para la desigualdad, por la definición de $x_n$ tenemos
$$x_n-3=\sqrt{6+x_{n-1}}-3.$$ Multiplicar por $\dfrac{\sqrt{6+x_{n-1}}+3}{\sqrt{6+x_{n-1}}+3}$ . Así que estamos multiplicando por $1$ de una manera elegante. Conseguimos $$x_n-3=\frac{x_{n-1}-3}{\sqrt{6+x_{n-1}}+3}.\tag{$ \N - El brindis $}$$ El fondo es claramente $>5$ Desde que el $x_i$ empezar y mantenerse positivo. Uno puede hacerlo mejor que $5$ Aquí, por ejemplo, podemos sustituir sin pensarlo $5$ por $\sqrt{6}+3$ y con no mucho más por $\sqrt{6+\sqrt{6}}+3$ . Pero no importa, $5$ es suficiente para una prueba de convergencia. Incluso bastaría con observar que el denominador es $>3$ . Tomando valores absolutos, encontramos que $$|x_n-3|=\frac{|x_{n-1}-3|}{\sqrt{6+x_{n-1}}+3}<\frac{|x_{n-1}-3|}{5}.$$ Iterar. La distancia a $3$ se divide por al menos $5$ con cada iteración, así que después de un (corto) tiempo $x_n$ está muy cerca de $3$ . Por lo tanto, nuestra secuencia tiene límite $3$ .

Answer 2

Definamos la secuencia auxiliar $a_{(n)}$ , $n\ge1$ , n en ${\mathbb N}$ como sigue:

$$a_{n}=\frac{|x_{n+1} - 3|}{|x_n - 3|}$$

i). Teniendo en cuenta que $x_{n}$ es positivo, se ve que $|\sqrt{6+x_n}+3|>5$ . Por lo tanto, nuestra primera desigualdad se puede demostrar como sigue:

$$a_{n}=\frac{|\sqrt{6+x_n}-3|}{|x_n - 3|}=\frac{1}{|\sqrt{6+x_n}+3|}\le \frac{1}{5} \to \space a_{n}\le \frac{1}{5}. $$

ii). Demostrando la segunda desigualdad: $$a_{1}\cdot a_{2} \cdot a_{3}\cdots a_{n-1}=\frac{|x_{n} - 3|}{|\sqrt6 - 3|}\le \left({\frac{1}{5}}\right)^{n-1} \to \space |x_{n} - 3|\le {|\sqrt6 - 3|}\left({\frac{1}{5}}\right)^{n-1} \le \left({\frac{1}{5}}\right)^{n-1}.$$

iii). Utilizando la desigualdad del punto anterior obtenemos inmediatamente que:

$$\lim_{n\to\infty} |x_{n} - 3|\le 0 \to \lim_{n\to\infty} x_{n}=3.$$

La prueba es completa.

Answer 3

También supondremos que $x_n$ está entre 0 y 3.

$3-x_{n+1} = 3 - \sqrt{6 + x_n} = 3 - \sqrt{9-(3-x_n}$ .

Llame a $3-x_n$ como $a_n$ .

Así que $a_{n+1} = 3 - \sqrt{9-a_n} = 3(1 - \sqrt{1-\frac{a_n}{9}}) \le 3\frac{a_n}{18} = \frac{a_n}{6}$ (por la expansión de la serie de Taylor).

También, $a_{n+1}$ no se convierte en negativo así, y como demostraremos su valor absoluto sigue disminuyendo. Por lo tanto, estamos justificados al suponer que $x_n$ está entre 0 y 3.

Así que $a_{n+1} \le \frac{a_n}{5}$ también

Como $a_{n+1} \le \frac{a_n}{5}$ y $a_1$ = $3 - \sqrt{6} \lt 1$ , $a_n \le \frac{1}{5}e^{n-1}$ en general.

Así que la serie converge a 3.