Topológico manera de mostrar , si $X$ finito que no hay bijection a $X\setminus{x}$ mientras $x\in X$

Question

Tuve la Idea de esta pregunta: <> otro hilo

Tengo la idea de definir un conjunto finito como este:
Llamamos a un conjunto $A$ finito si el espacio topológico $(A,T)$ es hausdorff iff $T$ es la topología discreta. Si mi prueba no está mal este es equivalente a la definición normal, que un conjunto es finito si existe un bijection a$\{1,\dots,n\}$$n\in \mathbb{N}$.

Yo nunca escuche a cualquier Topología de conferencia (no me lleve una topología supuesto), así que no sé si hay un problema en esto, y creo que no soy capaz de hacer la prueba en mi cuenta por lo que pido un poco de ayuda.

Mi Idea básica era que cualquier bijection entre los discretos finitos espacios topológicos es un homoeomorphism. Ahora hacemos un simplicial complejo de los conjuntos (tomando los elementos de Un 0-esqueleto y entre dos 0-células de 1 célula) y perhabs podemos demostrar, que el homotopie grupos no son iguales. (desde el 0 es un conjunto tenemos que tomar una superior). Así, por ejemplo, podemos demostrar que el libre grupos de $n$ $n-1$ generadores no son los mismos.

¿Alguien tiene una idea para esto, o no hay un camino sin cardinalidad.

Answer 1

No estoy completamente seguro de cuál es su pregunta. Creo que al menos una parte de lo que usted está preguntando es: "¿es cierto que un conjunto $X$ es finito $\iff$ el único Hausdorff la topología en $X$ es la topología discreta?"

Yo no entendía su propuesta de cómo probar esto, pero es la verdad.

Si $\tau$ es un Hausdorff topología sobre un conjunto finito $X$, entonces a partir de Hausdorff implica separados (o "$T_1$"), los puntos son cerrados. Desde finito uniones de conjuntos cerrados son cerrados, cada subconjunto cerrado, por lo tanto cada subconjunto abierto y la topología discreta.

Si $X$ es infinito, entonces no es una inyección de $\iota$ desde el set $S = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \ | \ n \in \mathbb{Z}^+\}$$X$. Deje $X_1$ ser la imagen de $\iota$ y dejar $X_2 = X \setminus X_1$. Nos topologize $X_1$ diciendo que un subconjunto $Y \subset X_1$ es abrir el fib $\iota^{-1}(Y)$ está abierto en $S$, y con su natural topología como un subconjunto de a $\mathbb{R}$. Por lo tanto $X_1$ no es discreto: $\{ \iota(0) \}$ no está abierto. En $X_2$ ponemos la topología discreta. Finalmente, hemos de dotar a $X$ con la topología que se presenta como distinto de la unión "o subproducto" de $X_1$$X_2$. En este caso, lo que equivale a decir que un subconjunto $Y$ $X$ es abrir el fib $Y \cap X_1$ está abierto en $X_1$. Este es un no-discretas Hausdorff la topología en $X$.

Answer 2

Deje $X$ ser un espacio topológico con al menos tres puntos diferentes y $x \in X$. Suponga que el único Hausdorff la topología en $X$ es el discreto. Si existe un bijection $f : X \to X \backslash \{x\}$, $f$ es un homeomorphism para las topologías. Ahora tome la topología en $X$ definido por $\mathcal{T}=\{ O \subset X : O \subset (X\backslash \{x\}) \ \text{or} \ O \cap (X\backslash \{x\} )\neq \emptyset \}$. Pero $\mathcal{T}$ es un Hausdorff no discretos (desde $\{x\} \notin \mathcal{T}$) topología en $X$: una contradicción.