La prueba es incorrecta [para un campo general. Comentarios añadidos al final, sobre los casos especiales en que se puede trabajar.]. Un problema menor es que la descripción dice para agregar todas las raíces de polinomios de algún grado en una etapa, pero la forma en que este argumento es generalmente escrito es para agregar una de las causas por (irreductible) polinomio en cada paso. Esta no es la verdadera dificultad, ya que en cada paso numerado $\geq k$ cada polinomio irreducible de grado $\leq k$ va a adquirir al menos una raíz, y será dividida después de una serie de pasos delimitada por el doble de su grado (más el número del paso en el que entró en la existencia, si en un principio no estaba en el campo). Y uno puede canónicamente agregar al menos una raíz para cada polinomio en cualquier conjunto dado.
El gran problema es que la universal, la construcción, la contigüidad de las raíces como "variables libres" modulo relaciones conocidas, añadir una infinidad de raíces de cada polinomio. Si usted formalmente dotar a cada copia traducida de un polinomio irreducible, $f(X+n)$, con al menos una nueva raíz $X_n$, entonces estas nuevas raíces son linealmente independientes en el agrandamiento del anillo, sino $f(X_n+n)=0$ da $f$ demasiadas raíces. Infinitamente muchos de estos $X_n+n$ será igual en un algebraicamente cerrado de campo, donde el número de raíces de un polinomio es limitada por el grado, pero algunos extremadamente no-canónica elección tiene que hacerse de los cuales formal raíces corresponden a los que las raíces de la CA (campo algebraicamente cerrado, o Axioma de Elección, de general campos que viene a ser lo mismo), mantener las cosas iguales para todos los polinomios de una sola vez, a fin de no obtener involuntaria de nuevas relaciones como $7 = 0$o contradicciones.
Así que conseguir un anillo, no un campo, en cada etapa de la construcción. La parte mágica de cualquier formalmente correcta prueba usando el Axioma de Elección, que es el lugar en la prueba que contiene todo el trabajo (dado que la teoría de Galois existe, no canónicos de la elección de la extensión es toda la dificultad), es en la afirmación de que un ideal maximal existe en este anillo de soluciones formales a los polinomios.
Aquí es donde el zoo de ambiguamente relacionadas con raíces que se ordenan de forma coherente. Uno llega a una extensión de campo mediante la adopción de un cociente, y el proceso que incluye esta reducción en cada etapa se repite $\omega$ largo de la grieta más polinomios (reduciendo el grado de previamente irreductible), finalmente la división de todos los antiguos y nuevos.
O, el lema de Zorn se utiliza para afirmar que un transfinito de la cadena de de un polinomio raíz de las adiciones, las cuales permanecen en el mundo de los campos, no se ejecuta la salida de vapor (resolución de sólo un subconjunto de los polinomios), ni se requiere un número transfinito de pasos tanto tiempo que se escapa del mundo de los conjuntos antes de terminar.
No muy satisfactorio situación. Para la mayoría de propósitos, finito o explícita profinite extensiones de problemas conocidos conjuntos de polinomios, son suficientes.
Para un campo como el de la $\mathbb{Q}$ que se encuentra dentro de una mucho más grande, pero conocido como $\mathbb{C}$ uno puede tomar las $\mathbb{Q_i}$ a ser su campo de extensiones de los conjuntos de raíces que viven en el campo más amplio. Luego de tener un campo en cada etapa no es un problema, pero la prueba se basa en la especial situación de alguna manera sabiendo que el mayor campo algebraicamente cerrado en sí mismo, o lo suficientemente grande en relación a la pequeña campo para que esto sea posible. Sin embargo, no es usual utilizar el Artin tipo de prueba para construir números algebraicos interna en el campo más amplio, debido a que el cierre tiene una simplificación de la descripción como el conjunto de todas las raíces de polinomios con coeficientes en el campo pequeño (por lo que el conjunto de la construcción se puede hacer en un gran paso en su lugar).
Otro caso con un canónica algebraica de cierre es el poder de la serie de campo en una variable, $\mathbb{C} ((X))$, donde la adición de fracciones de poderes de $X$ es suficiente. En ambos de estos casos con el consentimiento explícito cierres, la potencia extra para resolver las ecuaciones, sin un proceso transfinito adyacentes raíces, viene de análisis. Los campos se completa en una topología, y las raíces se pueden encontrar los límites de las aproximaciones.
