Deje $E$ ser un espacio de Banach con la norma $\|\cdot\|$. Asumir que no existe en $E$ un equivalente de la norma, que se denota por a $|\cdot|$, que es uniformemente convexo. Dado cualquier $k > 1$, ¿existe un uniformemente convexa de la norma $\|\cdot\|'$ $E$ tal que$$\|x\| \le \|x\|' \le k\|x\| \text{ for all }x \in E?$$Progress. Maybe we could set$$\|x\|'^2 = \|x\|^2 + \alpha|x|^2$$with $\alfa > 0$ lo suficientemente pequeño? No estoy seguro de qué hacer a partir de allí, sin embargo.
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Sólo una respuesta parcial:
Si usted toma la norma $\|x\|'=\|x\|+\alpha |x|$ gerw dijo en los comentarios, es fácil ver que desde $\|.\|\sim |.|$, yo.e $\exists \underline c,\overline c>0: \underline c\|x\|\leq |x|\leq \overline c \|x\|,\forall x\in E\,\,$ tendrá $$\|x\|\leq \|x\|+\alpha|x|\leq (1+\alpha \overline c)\|x\|,\forall x\in E$$. It is left to prove that indeed $\|.\|'=\|.\|+\alfa|.|$ es uniformemente convexo. No sé si esto es cierto, pero no es un resultado más débil en el libro Métrica Incrustaciones de Mikhail Ostrovskii en el final de la sección 9.3.1.
Se establece que la suma de un localmente uniformemente convexa de la norma y la seminorm que se estima desde arriba por un múltiplo de esta localmente uniformemente convexa de la norma es localmente uniformemente convexa de la norma.
Se puede aplicar esto a la (seminorm) $\|.\|$ e la (a nivel local) uniformemente convexa de la norma $\alpha|.|$, donde usted tiene que $\|x\|\leq \frac{1}{\underline c}|x|=\frac{1}{\alpha \underline c}\alpha|x|$. Así que para un determinado $k>1$, encontramos a $\alpha>0$ lo suficientemente pequeño como para que $1+\alpha\overline c\leq k$ y se obtiene un localmente uniformemente convexa de la norma $\|.\|'=\|.\|+\alpha|.|$ $E$ tal que $\|x\|\leq \|x\|'\leq k\|x\|,\forall x\in E$
