Es esta la curva de la circunferencia de un círculo?

Question

Deje $\Gamma$ ser una sola curva cerrada sin auto-intersecciones en un plano que satisface la siguiente condición :

Condición : Para cualquier distinta cuatro puntos de $P, Q, R, S$$\Gamma$, si la línea de $PQ$ es ortogonal a la línea de $RS$, luego de estos cuatro puntos se encuentran en un círculo.

Pregunta : Es $\Gamma$ de la circunferencia de un círculo?

Motivación : me gusta este tipo de pregunta como esta pregunta que me tiene interesado en la pregunta anterior. La respuesta parece ser que sí, pero me estoy enfrentando dificultades. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Este es un comienzo; el resto sería explícito fórmulas en las coordenadas.

Su curva es compacto, existe un par de puntos de $P,Q \in \Gamma$ cuya distancia se da cuenta de que el diámetro de la serie. Tomar la mediatriz del segmento $PQ.$ cumple esta $\Gamma$ en dos nuevos puntos de $R,S.$ de Éstas se encuentran en un círculo, de los cuales, $RS$ es un diámetro. Ahora, si se dibuja un segmento de la muestra $PQ,$ y dibujar una serie de círculos que pasa exhaustivo de esos dos puntos, usted encontrará que el círculo de menor diámetro es que para que $PQ$ ya es un diámetro. Se deduce que este es el preciso círculo en el que $R,S$ mentira. Así que, sin pérdida de generalidad, podemos colocar puntos de $\Gamma$ $x,y$- ejes en $$P=(0,1), Q = (0,-1), R = (1,0), S = (-1,0).$$ It also follows that no point of $\Gamma$ can lie outside the square $$-1 \leq x \leq 1, \; -1 \leq y \leq 1$$ as it would then be of distance greater than $2$ from one of $P,Q,R,S.$

Por último, dado cualquier punto de $T =(a,b) \in \Gamma,$ decir con $a > 0, b > 0$ sus cuatro puntos de la regla dice que nos podemos encontrar en su explícito de "reflexión" a través de la $x$-eje escribiendo el círculo a través de $T,R,S$ e informática $T_x = (a,b').$ entonces Podemos encontrar que la reflexión a través de la $y$-eje, se $T_{xy} = (a', b').$ O, podríamos comenzar por la reflexión a través de la $y$ eje $T_y = (a'', b)$ , seguido por $T_{yx} = (a'', b'').$ Mi sospecha es que, si $a^2 + b^2 \neq 1,$ la distancia entre cualquiera de las $TT_{xy}$ o $TT_{yx}$ supera $2,$, lo que está prohibido y que es lo que ahora llamamos la distancia entre el $PQ.$ O de $T_x, T_y,T_{xy}, T_{yx}$ se encuentra fuera de la norma de la plaza indicada.

EDIT: con $T =(a,b),$ I get $$T_x = (a, \frac{a^2 -1}{b}),$$ y $$T_y = ( \frac{b^2 -1}{a},b).$$ So, if $a^2 + b^2 = 1,$ both $T_x$ and $T_y$ también se encuentran en el círculo unidad.

EEEDDDIIIIITTTT: Probablemente sea necesario para reducir la plaza de la superposición de la cerrada de los discos alrededor de cada uno de $P,Q,R,S$ radio $2.$ Esta forma tiene cuatro esquinas, una es $(t,t)$ donde $t = \frac{\sqrt 7 - 1}{2} \approx 0.823$

EEEEEEEDDDDDDDDDIIIIIIITTTTTT: En este pont, probablemente el más eficiente cosa es encontrar el punto de $T$ $\Gamma$ más alejado del origen; mediante la reflexión o rotación de la plaza, podemos pedirle a este ser $(x,y)$ $0 < x,y < 1$ $x^2 + y^2 > 1;$ esta última pieza es la asunción. Sospecho que cualquiera de las $T_{xy}$ o $T_{yx}$ más lejos del origen de $T,$ contradiciendo asunción. Y para completar la prueba. He trabajado, no parece que cualquiera de las $T_{xy}$ o $T_{yx}$ será necesariamente más lejos del origen de $T.$ No es una mala idea, aunque...tenga en cuenta que $P,Q,R,S$ a pie $1$ desde el origen; uno puede jugar con eso.

http://en.wikipedia.org/wiki/The_Rule_of_Four