Es $ds$ diferencial de la forma?

Question

Estoy un poco confundido en cuanto a si $ds$ (línea de elemento) es en realidad una forma diferenciada... tenemos (en $\mathbb{R}^2$):

$$ds^2 = dx^2 + dy^2$$

Diferencial de 1-formas que se supone son combinaciones lineales de las $dx_i$, pero el $ds$ que se muestra arriba es definitivamente no es una combinación lineal de $\{dx, dy\}$.

Entonces, ¿qué es?

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EDITAR El enlace en los comentarios parece indicar que $ds$ no es una forma diferenciada. La siguiente cita es de la C. H. Edwards, "Avanzado Cálculo de Varias Variables" en la sección V. 1

Dada una orientada a la curva de $C$$\bf R$, su arclength forma $ds$ está definido por ${\bf x} \in C$ por $$ds_{\bf x}({\bf v}) = T({\bf x}) \cdot {\bf v}$$ Por lo tanto $ds_{\bf x}({\bf v})$ es simplemente el componente de ${\bf v}$ en la dirección de la unidad de vector tangente $T({\bf x})$. Está claro que $ds_{\bf x}({\bf v})$ es una función lineal de ${\bf v} \in {\bf R}^n$, lo $ds$ es una forma diferenciada en $C$.

Es el libro equivocado (o no "es una forma diferenciada en $C$" no significa "es una forma diferenciada" en general)?

Answer 1

En una curva, $ds$ (como en la integración con respecto a la longitud de arco', de modo que permite un signo negativo de acuerdo a la orientación del intervalo de integración) pueden ser escritos localmente como $f(p) dp$ donde $p$ es un parámetro de la curva. Es una $1$-forma de la curva. Si usted requiere la positividad no importa la dirección de la integración, de modo que $\int_p^q ds = \int_q^p ds$, entonces no es un $1$pero $1$-densidad.

No es $1$-forma en el avión $f(x,y) dx + g(x,y) dy$ cuya restricción a cada curva diferenciable es $ds$ de la curva. Esto es lo que significa el lema que arclength no es una forma diferenciada.