Permítanme abordar la cuestión de si la clase de teoría de campo puede ser usado para resolver algunos Diophantine ecuaciones. La respuesta es, sin duda sí. Un ejemplo histórico es dada por Kummer, la labor del Último Teorema de Fermat; este invocado algebraicas número teórico de resultados a hacer con cyclotomic campos, muchos de los cuales pueden ser reinterpretados como casos especiales de campo de la clase de teoría. (Un lugar para ver este debate es el de niza histórico capítulo sobre Kummer del trabajo de Michael Rosen
en el libro de las formas Modulares y el Último Teorema de Fermat (Cornell, Silverman, Stevens eds.).)
A un nivel más básico, a considerar la cuestión de la solución de las siguientes tres ecuaciones:
$$x^2 + y^2 = p$$
$$ x^2 + 5 y^2 = p$$
$$x^2 + 23 y^2 = p$$
donde $p$ es un primer e $x$ $y$ son enteros.
En esencia (es decir, la exclusión de algunos pequeños números primos, es decir, $p = 2$ en la primera,
$p = 2$ o $5$ en el segundo, y $p = 2$ o $23$ en el tercero) cada uno de
estas preguntas pueden ser reformulado como preguntar si el prime $p$ se divide en un producto de los principales ideales de la extensión de $K:= \mathbb Q(\sqrt{-D})$,
donde $D = 4,$ $20$, y $23$ respectivamente.
Ahora, la pregunta de si $p$ fracturas es difícil de responder; es sólo una
la pregunta de si el símbolo de Jacobi $\bigl( \frac{p}{D} \bigr)$ es igual
a $1$ o no.
Pero la cuestión de si $p$ se divide en un producto de las principales ideas es más sutil; es una cuestión de si $p$ se divide por completo en el campo de la clase de Hilbert
$H$ $K.$
Ahora, en el caso $D = 4$, sabemos que $K$ número de clase de uno y por lo $K = H$.
Por lo tanto podemos solucionar $x^2 + y^2 = p$ si y sólo si $p \equiv 1 \bmod 4$.
Si $D = 20$, $K$ tiene clase número dos, y en el hecho de $H = K(\sqrt{-1})$
es el compositum del campo $\mathbb Q(\sqrt{-4})$$\mathbb Q(\sqrt{-20})$. Por lo tanto $p$ se divide completamente en $H$ si y sólo si $\bigl(\frac{p}{4}\bigr) = 1$
y $\bigl(\frac{p}{20}) = 1$, es decir, si y sólo si $\bigl(\frac{p}{4}\bigr) = 1$
y $\bigl(\frac{p}{5}) = 1$, es decir, si y sólo si $p \equiv 1 \bmod 4$$p \equiv \pm 1 \bmod 5$, es decir, si y sólo si $p \equiv 1 \text{ o } 9
\bmod 20$.
Por último, si $D = 23$ $K$ tiene clase número tres, y por lo $H$ es no un abelian extensión de $\mathbb Q$; más bien es una $S_3$-extensión. La equivalencia de los campos de la clase y abelian extensiones dice que $H$ es no un campo de clase de $\mathbb Q$, con lo que hay no hay congruencia en la condición de $p$ que determina si es o no $p$ se divide completamente en $H$. Por lo tanto no hay ninguna condición de congruencia en $p$ que determina si se puede o no resolver
$x^2 + 23y^2 = p$.
En su lugar, se tiene el siguiente resultado de la no-abelian campo de la clase de teoría
(debido, en este caso, a Hecke, pero que se entiende mejor desde un punto de vista moderno como un caso especial de Langlands general del programa para los que no abelian campo de la clase de teoría):
Podemos solucionar $x^2 + 23y^2 = p$ si y sólo si el coeficiente de $q^p$ en el producto
$$q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)(1-q^{23 n}),$$
que es a priori igual a $-1,0,$ o $2$, es de hecho igual a $2$.
Calcular el producto, uno encuentra, por ejemplo, que la primera de esas prime es $p = 59 =
6^2 + 23\cdot 1^2$.
(Este producto infinito es una cierta forma modular, que es un tipo particular de no abelian analógica de un símbolo de Jacobi.)
Si la clase de teoría de campo tiene aplicaciones para el análisis complejo, no sé,
pero la aparición de formas modulares al final de la discusión anterior muestra que el análisis complejo tiene aplicaciones al campo de la clase de teoría.
