la siguiente desigualdad es verdadera, pero no puedo demostrarla

Question

La desigualdad $$\sum_{k=1}^{2d}\left(1-\frac{1}{2d+2-k}\right)\frac{d^k}{k!}>e^d\left(1-\frac{1}{d}\right)$$ es válida para todos los números enteros $d\geq 1$ . Utilizo el ordenador para verificarlo para $d\leq 50$ y encontrar que es verdad, pero no puedo probarlo. Gracias por su respuesta.

Answer 1

Este es un informe de un intento fallido. Intenté hacerlo de la manera estándar de fuerza bruta, como se describe en libros como Matemáticas concretas . Lo que acabé demostrando es que la suma es $$e^d (1-O(1/d) + O(d^{-3/2+\epsilon}))$$ para cualquier $\epsilon$ . En otras palabras, no he respondido a la pregunta. Si necesitara este resultado para un trabajo, y no tuviera una idea mejor, volvería a repasar manteniendo todos los términos hasta $O(d^{-5/2+\epsilon})$ Pero, como no lo necesito, te lo dejo a ti.

ACTUALIZACIÓN Encontré una manera más fácil de hacer esto, y lo escribí sobre en MO . El resultado es que la suma es $$e^d(1-1/d+1/d^2+ O(d^{-2.5+\epsilon}).$$ Todavía no tengo una prueba para todos $d$ .

Cortar las colas : Poner $k = d+\ell$ . Lo primero que quiero señalar es que los términos con $|\ell| > d^{0.5+\epsilon}$ son insignificantes. Esquema de la prueba: Supongamos que $\ell > d^{0.5+\epsilon}$ . Entonces $$\frac{d^k}{k!} = \frac{d^d}{d!} \frac{d^{\ell}}{(d+1)(d+2)\cdots (d+\ell)} \leq \frac{d^d}{d!} \prod_{i=1}^{\ell} e^{-i/d} = \frac{d^d}{d!} e^{-(\ell^2+\ell)/d}.$$ Para $\ell> d^{0.5+\epsilon}$ ese exponente es $\geq d^{2 \epsilon}$ por lo que la contribución de estos términos es $e^{-d^{2 \epsilon}}$ menor que la contribución del término central. Un argumento similar funciona cuando $\ell < - d^{0.5+\epsilon}$ . Así que nos concentraremos en la gama $-d^{0.5+\epsilon} < \ell < d^{0.5-\epsilon}$ .

Análisis asintótico del sumando: Como antes, escribe el sumando como $$\frac{d^d}{d!} \frac{1}{\prod_{i=1}^{\ell} (1+i/d)} \left( 1- \frac{1}{d+2-\ell} \right).$$ Ahora analizamos ese producto con mucho más detenimiento. $$ \frac{1}{\prod_{i=1}^{\ell} (1+i/d)} = \exp \left(- \sum_{i=1}^{\ell} \log \left( 1+\frac{i}{d} \right) \right)$$ $$ = \exp \left(-\frac{1}{d} \sum_{i=1}^{\ell} i + \frac{1}{2 d^2} \sum_{i=1}^{\ell} - \frac{1}{3d^3} \sum_{i=1}^{\ell} i^3 + O(\ell^5/d^4) \right) $$ $$=\exp\left( -\ell^2/(2d) + [ - \ell/(2d)+\ell^3/(6 d^2) ] + [ \ell^2/(4 d^2)- (\ell^4)(12 d^3)] + O(d^{-3/2+0.03}) \right)$$ $$=e^{-\ell^2/(2d)} \left( 1+ [-\ell/(2d) +\ell^3/(6 d^2)] + [3 \ell^2/(8 d^2) -\ell^4/(6 d^3)+ \ell^6/(72 d^4)] + O(d^{-3/2+3 \epsilon}) \right).$$ Los términos entre corchetes tienen la misma magnitud cuando $\ell \approx \sqrt{d}$ .

Mientras tanto, por la aproximación de Striling, $$\frac{d^d}{d!} = \frac{e^d}{\sqrt{2 \pi d}} (1-1/(12 d) + O(1/d^2))$$ y $$\left( 1- \frac{1}{d+2-\ell} \right) = 1-1/d + O(\ell/d^2).$$

Ponerlo todo junto $$\frac{e^d}{\sqrt{2 \pi d}} \sum_{\ell = -d^{0.51}}^{d^{0.51}} e^{-\ell^2/d} \times \left( 1+ [-\ell/(2d) +\ell^3/(6 d^2)] + [-(13)/(12 d) + 3 \ell^2/(8 d^2) -\ell^4/(6 d^3)+ \ell^6/(72 d^4)] + O(d^{-3/2+3 \epsilon}) \right).$$

Sustituir la suma por una integral Sustituimos la suma en $\ell$ por la integral correspondiente. El error al hacerlo viene dado por la fórmula de Euler-Maclaurin. Me da pereza calcularla, pero como el sumando es suave y es exponencialmente pequeño en los extremos, debería ser despreciable comparado con los errores que ya tenemos. Entonces sustituimos $x = \ell/\sqrt{d}$ . Esto anula el $\sqrt{d}$ fuera de la integral y las hojas: $$\frac{e^d}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x = -d^{\epsilon}}^{d^{\epsilon}} e^{-x^2} dx \times \left( 1+ \frac{1}{\sqrt{d}} [-x/2 +x^3/3] + \frac{1}{d} [-13/12 + 3 x^2/8 -x^4/6+ x^6/72] + O(d^{-3/2+3 \epsilon}) \right).$$

Convenientemente, el integrando en el coeficiente de $1/\sqrt{d}$ es impar y, por tanto, desaparece. Además, podemos sustituir el límite de integración por $-\infty$ y $\infty$ con un error exponencialmente pequeño. Pero ahora ocurre un loco milagro. Según Mathematica , $$\frac{1}{\sqrt{2 pi}} \int_{x=infty}^{-\infty} (-13/12 + 3 x^2/8 -x^4/6+ x^6/72) dx=-1.$$ En otras palabras, el $1/d$ término es exactamente lo que se espera en el lado derecho.

Podríamos volver a realizar este cálculo teniendo en cuenta más términos de error. El integrando en de $1/d^{3/2}$ es impar de nuevo. No tuve la energía para seguir con $1/d^2$ .

ACTUALIZACIÓN Siguiendo una idea de Christian Blatter, he trazado $$\left( \log d, \log \left( e^{-d} \sum_{k=1}^{2d} \frac{d^k}{k!} - 1+1/d \right) \right)$$ para $d$ de $5$ a $50$ .

Parece lineal, con pendiente $-2$ . La línea de mejor ajuste es $-1.8 \log d - 0.8$ . Así que predigo que hay un no trivial $d^{-2}$ plazo.

Answer 2

Esto es sólo una pista, no una respuesta.

Denote su suma por $s(d)$ y que $g(d):=e^d\> s(d)-\bigl(1-{1\over d}\bigr)$ . Mirando un gráfico de lista de $g$ para $1\leq d\leq 200$ se puede ver que la desigualdad conjeturada se hace más aguda (y no más evidente) con el aumento de $d$ . Esto sugiere que para una prueba habría que empezar por $d=\infty$ .

Answer 3

Perdón por no haber revisado esto antes: el problema fue publicado de forma cruzada en mathoverflow y finalmente pude dar una versión del análisis de David Speyer de David Speyer que permite calcular muchos más coeficientes de la expansión asintótica (he llegado a la $d^{-13}$ término, y podría ir más allá), y más tarde dar límites de error lo suficientemente buenos para demostrar la desigualdad para $d \geq 14$ , en cuyo momento los cálculos numéricos anteriores completan la prueba. Véase https://mathoverflow.net/questions/133028/the-following-inequality-is-truebut-i-cant-prove-it/133123#133123