Demostrar, axiomáticamente que $1$ no es igual a $0$ .

Question

Intenté demostrarlo pero me encontré con muchos argumentos circulares. ¿Cómo se puede demostrar esta afirmación sin argumentos circulares?

Answer 1

Si se comienza con los axiomas de Peano para los números naturales, entonces $0$ es parte del lenguaje, pero $1$ no lo es. Utilizamos $1$ como abreviatura del término $s0$ .

Ahora podemos utilizar el axioma $\forall x(sx\neq0)$ e inferir que, en particular, para $x=0$ es cierto que $s0\neq0$ . Enhorabuena, hemos demostrado que $0\neq1$ axiomáticamente.

Se pueden elegir diferentes contextos, como la teoría de conjuntos, la teoría de campos, la teoría de anillos u otros contextos en los que podemos interpretar $0$ y $1$ . También puede encontrar contextos en los que $0=1$ es un enunciado demostrable. Por ejemplo, la teoría cuyo único axioma afirma $0=1$ . Es cierto que esta teoría describe muy poco de lo que esperamos de los números naturales, o de los símbolos $0,1$ para significar. Pero es algo matemáticamente válido.

Answer 2

1) Demuestre que $a \times 0 = 0$ para todos $a$ .

$a \times 0 = a(1 - 1) = a - a = 0$ .

2) Si $0 = 1$ entonces $a = a \times 1 = a \times 0 = 0$

Así que todos los términos son iguales a 0.

Lo que en realidad no es una contradicción. Sólo significa que estamos trabajando con un campo trivial. Si el campo no es trivial (digamos los Reales) entonces $0 \ne 1$ .

Answer 3

Tal vez tengamos un axioma que diga $0$ es la identidad aditiva y otro axioma que dice $1$ es la identidad multiplicativa, es decir, $x + 0 = x$ y $x \times 1 = x$ . Entonces, para que $0 = 1$ , tendríamos que tener $1 + 1 = 1$ y $0 \times 0 = 0$ . Pero esto implica que $1 \times 2 = 1$ contradiciendo el axioma de identidad multiplicativa que requiere $2 \times 1 = 2$ . (Quizá también necesitemos un axioma que diga que la suma y la multiplicación son conmutativas).

Answer 4

Esta es una de esas preguntas aparentemente sencillas que en realidad son bastante difíciles. Declarando $1 \neq 0$ parece bastante barato, pero no se me ocurre una forma mejor. Con la esperanza de que ayude a alguien a dar una mejor respuesta, aquí está mi intento:

Si $x = y$ entonces $x - y = 0$ y $x \div y = 1$ . Obviamente $1 - 0 = 1$ pero eso no nos ayuda ya que quizás $1 = 0$ . Tampoco $0 \div 1 = 0$ tampoco ayuda. Sin embargo, $1 \div 0$ normalmente se considera indefinido, y los intentos de definirlo suelen ir por el infinito.

Por supuesto, el gran fallo de todo este argumento es que $0 \div 0 \neq 1$ a menos que lo definamos explícitamente así con el fin de demostrar $0 = 1$ .

Answer 5

Algunas buenas ideas hasta ahora, pero tratar de introducir la multiplicación es problemático. Creo que hay que centrarse en la suma.

Axioma $0$ . La identidad aditiva es $0$ . Así, $n + 0 = n$ .

Axioma $1$ . El intervalo de sucesión es $1$ . Así, el sucesor de $n \in \textbf{Z}$ es $n + 1$ . Si $n'$ es el sucesor de $n$ entonces $n < n'$ y $n' > n$ .

Axioma $2$ . La suma es conmutativa. Por lo tanto, $a + b = b + a$ .

Por lo tanto, $0' = 1$ porque $1 + 0 = 0 + 1 = 1$ . Esto encaja bien con Axioma $0$ y Axioma $1$ .

Quizás $0 = 1$ . Pero por Axioma $1$ tenemos $1 > 0$ y $0 < 1$ , contradiciendo rotundamente $0 = 1$ . Concluimos que $0 \neq 1$ después de todo.