Cálculo de los ceros de la función Riemann-Zeta

Question

Wikipedia afirma que

La función zeta de Riemann $\zeta(s)$ se define para todos los números complejos $s \neq 1$ . Tiene ceros en los enteros pares negativos (es decir, en $s = 2, 4, 6, ...)$ . Se denominan ceros triviales. La hipótesis de Riemann se ocupa de los ceros no triviales, y afirma que: La parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es $\frac{1}{2}$ .

¿Qué significa decir que $\zeta(s)$ tiene un $\text{trivial}$ cero y un $\text{non-trivial}$ cero. Sé que $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$ lo que wikipedia afirma es que $\zeta(-2) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} = 0$ que parece absurdo.

Mi pregunta es si alguien puede mostrarme cómo calcular un cero para el $\zeta$ función.

Answer 1

Vas a necesitar un poco de conocimiento sobre análisis complejo antes de que puedas seguir realmente la respuesta, pero si empiezas con una función definida como una serie, es frecuentemente posible extender esa función a una parte mucho mayor del plano complejo.

Por ejemplo, si define $f(x)=1+x+x^2+x^3+...$ entonces $f$ puede ampliarse a $\mathbb C\setminus \{1\}$ como $g(x)=\frac{1}{1-x}$ . Está claro que es "absurdo" decir que $f(2)=-1$ pero $g(2)=-1$ tiene sentido.

La función zeta de Riemann se define inicialmente como una serie, pero puede "ampliarse analíticamente" a $\mathbb C\setminus \{1\}$ . Los detalles de esto realmente requieren un análisis complejo.

Calcular los ceros no triviales de la función zeta de Riemann es todo un campo de las matemáticas.

Answer 2

Copiado de Wikipedia:

Para todos $s\in\mathbb{C}\setminus\{1\}$ la relación integral $$\zeta(s) = \frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\!\int_0^{\infty}\!\!\!\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}(\mathrm{e}^{\pi\,t}+1)}\,\mathrm{d}t,$$ es verdadera, lo que puede utilizarse para una evaluación numérica de la función Zeta. http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs5/seite19.html

Answer 3

En cuanto a su pregunta sobre cómo calcular ceros de $\zeta(s)$ ...

El algoritmo siguiente convergerá a un cero no trivial de $\zeta(s)$ a lo largo de la línea $s=1/2+t \in \mathbb{C}$ .

$\mathbf{Newton-Raphson}$ $\mathbf{Algorithm}$ $\mathbf{for}$ $\zeta(s)$ : Dada una $t_{k} \in \mathbb{R}$ Soluciones iterativas $t_{k+1}$ convergen a ceros no triviales de $\zeta(s)$ ,

$t_{k+1}=t_{k}-\frac{2 i}{\frac{16 i t_{k}}{1+4t_{k}^2}+log_{e}(\pi) - \psi(1/4+i t_{k}/2)-\frac{2 \zeta’(1/2+i t_k)}{\zeta(1/2+i t_k)}}$ .

Tenga en cuenta que $\psi(s)$ es la función di-gamma y que $t_k$ es la parte imaginaria de la raíz $s=1/2+i t_k$ con $\zeta(1/2+it_k)\approx 0$ .

Answer 4

Para la primera pregunta, ¿qué son los ceros "triviales" y "no triviales" de la función zeta de Riemann? Son términos utilizados para describir 1) los ceros de la función zeta de Riemann que se producen a intervalos regulares hasta el infinito (triviales) y los que no (no triviales). Tomemos cualquier función, no sólo la función zeta. Por ejemplo, la función seno $sin(s)$ . En cualquier momento $sin(s)=0$ entonces eso es un cero de la función seno. En comparación, todos los ceros del seno se considerarían "triviales", ya que se producen a intervalos regulares: $sin(\pi n)$ siempre que el argumento sea un número natural $(0, 1, 2, 3, ...)$ multiplicado por $\pi$ .

Los ceros triviales de la función zeta de Riemann se encuentran en $s=-2n$ por lo que para los números naturales $n>0$ se obtiene un cero en $\zeta(-2)$ , $\zeta(-4)$ , $\zeta(-6)$ etc. Así que más bien trivial.

Los no triviales son más complicados. Suponiendo que estés familiarizado con la aritmética compleja, la primera es $\zeta(1/2 + i 14.134725141734...)$ donde $i$ es el número imaginario. El siguiente cero no trivial es su conjugado complejo $\zeta(1/2 - i 14.134725141734...)$ y el siguiente es $\zeta(1/2 + i 21.022039638771...)$ y su conjugado complejo $\zeta(1/2 - i 21.022039638771...)$ Y siguen y siguen hasta el infinito, acercándose cada vez más, pero sin mostrar nunca un patrón claro. La razón por la que son más complicados se debe al hecho de que nadie sabe mucho sobre las partes imaginarias, casi nada en absoluto. Se sabe que todos los ceros no triviales cuya parte imaginaria llega hasta algún punto mayor que $3*10^9$ tienen cada una una parte real igual a la mitad, como se ve en los dos primeros ejemplos. La hipótesis de Riemann afirma que todas tienen una parte real igual a la mitad.

La segunda pregunta...

La representación en serie infinita a la que haces referencia no puede calcular ninguno de los ceros de la función zeta de Riemann, así que probablemente por eso no tiene mucho sentido. Afortunadamente, existen otras representaciones de la función. Aquí tienes una forma sencilla de calcular los ceros no triviales con lo que ya tienes.

Multiplica la serie infinita que utilizaste en tu post por $(-1)^{1-s}/(1-2^{1-s})$ para "alternar" la función. De este modo se obtiene $$\sum_{n=1}^{infinity} (-1)^{1-n}/(n^s(1-2^{1-s}))=\zeta(s), Re(s)>0,$$ que sí converge para los ceros no triviales. Puede aplicar uno de los ceros no triviales que he proporcionado anteriormente y verá que al sumar hasta el infinito los valores negativos empiezan a negar los positivos. Esta representación se denomina a veces función zeta de Dirichlet (alterna).

Para calcular los ceros triviales, habrá que utilizar una representación funcional de la función zeta o la representación de Abel-Plana, sobre la que puedes leer más en https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Plana_formula .

Aquí está esa representación, que también funcionará para los ceros no triviales: $$\zeta(s)=1/(s-1)+1/2+2\int_0^{infinity} sin(s* arctan(t))/((e^{2 \pi t }-1) (1+t^2)^{s/2}) dt$$

Aunque la fórmula de Abel-Plana es potente, es un poco larga. Espero que la suma que he proporcionado para los ceros no triviales ayude.

Answer 5

Aquí hay un método de extensión en c# para calcular los ceros para Re(s) > 0. Sin embargo, no es muy eficiente para valores grandes de t. Nota, .5 en el cálculo es la Zeta(1/2+it). Prueba con cualquier otro número y no obtendrás un cero.

Además, se podría modificar fácilmente la función para devolver un IEnumerable<Complex> y el usuario podría crear una consulta/filtro contra cada término de la suma infinita. Me pareció interesante para trazar cada término en un gráfico y ver que convergen en el plano. Los ceros son donde el gráfico vuelve al origen. El tipo Complex se encuentra en el espacio de nombres System.Numerics.

    /// <summary>
    /// Calculates the converged point for a Dirichlet series expansion.
    /// </summary>
    /// <param name="t">imaginary part of s. The first zero is at 14.134725</param>
    /// <param name="numberOfTerms">Use a higher number to find more accurate convergence.</param>
    /// <returns></returns>
    public static Complex CalcZetaZero(this double t, int numberOfTerms)
    {
        var range = Enumerable.Range(1, numberOfTerms);
        var zetaZero = Complex.Zero;

        foreach (int n in range)
        {
            var direction = n % 2 == 0 ? Math.PI : 0;
            var newTerm = Complex.Exp(new Complex(-Math.Log(n) * .5, -Math.Log(n) * t + direction));
            zetaZero += newTerm;
        }

        return zetaZero;
    }