Los aumentos y las traducciones no conmutan en ninguno de los relativistas o ni relativista sistemas, por favor, véase por ejemplo el caso de la
Poincaré grupo.
Desde $K_i = M_{0i}$ , $(i=1,2,3)$, tenemos para el grupo de Poincaré:
$[K_i, P_j] =i (\eta_{0j}P_i-\eta_{ij}P_0) = -i \delta_{ij}P_0$
Ahora, El Galileo grupo puede ser obtenido a partir de la de Poincaré grupo por medio de Wigner-Inonu contracción, ver por ejemplo este enlace.
En el sin límite relativista el resto impulso está dominado por la masa plazo, por lo que la contracción de la anterior relación se convierte en:
$[K_i, P_j] =-i \delta_{ij}M$
El anterior razonamiento muestra que el parámetro de $M$ es la masa.
Considerada como una Mentira álgebra elemento M conmuta con todos los otros generadores y no puede ser removido por una suave redefinición de los generadores,
esta es la razón por la que es llamado una extensión central, véase por ejemplo el capítulo 3 de
Ballentine del libro, donde varias representaciones de la Galilea grupo están construidos.
La consecuencia es que en cada irreductible representación de La Galilea grupo $M$ debe ser representado por un escalar (la partícula de masa), y dos representaciones con diferentes masas son
unitarily no equivalentes.
La fórmula del producto de una traducción y de un impulso se puede obtener directamente el catión de la Baker–Campbell–Hausdorff fórmula.
Esta fórmula significa que el wavefunctions adquiere una fase factor transformado en un marco inercial (en otras palabras, la función de onda es la representación proyectiva). En la mecánica cuántica, una fase global no es medible, por lo tanto ninguna consecuencia física es causada
Sin embargo, las Representaciones correspondientes a las distintas masas se dividen en diferentes superselection sectores, esto significa que las superposiciones lineales
de wavefunctions de partículas con diferentes masas no físico, porque en este caso, cada componente de adquirir una etapa diferente en la que contradice experimento porque diferencial de fases que se observan en la mecánica cuántica.
Vale la pena mencionar que este es exactamente el ejemplo que originalmente fue analizado por V. Bargmann en su papel "En la unitaria ray representaciones continuas de grupos", Ann. de Matemáticas.,59 (1954), 1-46.
Actualización
Esta actualización contiene las respuestas a las preguntas que aparecen en Aruns comentarios:
El noncommutativity el impulso y el impulso de los operadores es la mecánica cuántica. Los conmutadores están escritos en $\hbar= 1$ unidades, el trabajo en general de las unidades, el impulso-momentum conmutador tiene la forma:
$[K_i, P_j] =i \hbar \delta_{ij}M$
El noncommutativity es observable sólo en la acción de los operadores sobre las funciones de onda. Permítanme elaborar este punto para el caso de una partícula libre se considera en Ballentine del libro.
En primer lugar, el espacio de fase (es decir, el colector de datos inicial) es $\mathbb{R}^6$ cubierto con las coordenadas $\{ \mathbf{q}, \mathbf{v} \}$, que sobre la cuantización de satisfacer las relaciones de conmutación:
$[ q_i, v_j] = \frac{i}{M} \delta_{ij}$
Considere la posibilidad de los operadores:
El finito traducción operador $\mathcal{D}_{q_0} =\exp(i \frac{ M\mathbf{v}. \mathbf{q_0}}{\hbar})$.
El finito impulsar el operador $\mathcal{B}_{v_0} = \exp(i \frac{\mathbf{K}. \mathbf{v_0}}{\hbar}) = \exp(i \frac{M \mathbf{q}. \mathbf{v_0}}{\hbar})$
Considere una función de onda en el espacio de fase $\psi(\mathbf{q})$. No es difícil ver que:
$\mathcal{B}_{v_0} \mathcal{D}_{q_0} \psi(\mathbf{q})= \exp(\frac{i M \mathbf{v_0}.\mathbf{q_0}}{\hbar}) \mathcal{D}_{q_0} \mathcal{B}_{v_0} \psi(\mathbf{q})$
El cuarto relativista impulso de los componentes está dada por
$ P_0 = \sqrt{M^2 c^4 + p^2 c^2}$
En el no-límite relativista $c \rightarrow \infty$, el primer término domina y llegamos $ P_0 \approx M c^2$. Ahora, usted absorber el factor de $c^2$ en la definición de los generadores, (o en el trabajo en unidades c=1). Esto es esencialmente
el Wigner-Inonu la contracción del grupo de Poincaré a la de Galileo grupo.
Te voy a dar aquí el argumento estándar de la uniatry inequivallence entre la cuantización de dos partículas con masas diferentes $ M_1 \ne M_2$.
Vamos a utilizar los subíndices 1 y 2 para la partícula individual de los operadores (Cada uno actuando en otro espacio de Hilbert ). Si las dos representaciones son unitarily equivalente significa que existe una isometría $U$ tal que
$\mathbf{K_2} = U \mathbf{K_1}U^{*} $ $\mathbf{P_2} = U \mathbf{P_1}U^{*} $ , con lo que obtenemos $[\mathbf{K_2}, \mathbf{P_2}] = U [\mathbf{K_1}, \mathbf{P_1}]U^{*}$ , lo que significa que $M_1 = M_2$, una contradicción.
Unitario inequivalence es similar a las representaciones de $SU(2)$ tener diferentes $J$, por tanto tener diferentes dimensiones. En el finito dimensionales caso, es obvio que no podemos encontrar una isometría entre las diferentes dimensiones de espacios de Hilbert.
Uno podría pensar que todas las infinitas dimensiones de las representaciones de la Galileo se unitarily equivalente que no es el caso.
