La aproximación de $\log x$ con raíces

Question

La siguiente es una sorprendentemente buena (y simple!) aproximación para $\log x+1$ en la región de $(-1,1)$: $$\log (x+1) \approx \frac{x}{\sqrt{x+1}}$$

Tres preguntas:

• Hay una buena razón por la que este sería el caso?
• ¿Cómo ir sobre la construcción de la "nueva expresión"?
• Son los documentos en "generalizado Pade aproximaciones" que involucran radicales?

Answer 1

Vamos a reescribir ambos lados en términos de $y = x + 1$: obtenemos

$$\log y \approx \sqrt{y} - \frac{1}{\sqrt{y}}$$

en, digamos, el intervalo de $\left( \frac{1}{2}, 2 \right)$ (no me atrevo a hablar de todo el intervalo de $(0, 2)$; a mí me parece que la aproximación no es del todo buena, cerca de $0$). La CARTA debe buscar una especie de familiar: vamos a realizar una segunda sustitución $y = e^{2z}$ para obtener

$$2z \approx e^z - e^{-z} = 2 \sinh z$$

en el intervalo de $\left( - \varepsilon, \varepsilon \right)$ donde $\varepsilon = \frac{\log 2}{2} \approx 0.346 \dots$. Por supuesto, ahora vemos que el lado izquierdo es sólo el primer término de la serie de Taylor de la RHS, y en un intervalo menor que el inicialmente. Además, los coeficientes de Taylor de $2 \sinh z$, a diferencia de los coeficientes de Taylor de funciones, disminuir muy rápidamente. El siguiente término es $\frac{z^3}{3}$, que en este intervalo de tiempo es en la mayoría de los

$$\frac{\varepsilon^3}{3} \approx 0.0138 \dots$$

y esto es más o menos el tamaño del error en la aproximación entre el $\log 2$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ obtenido por ajuste de $y = 2$, o, equivalentemente,$x = 1$.

Con la sustitución de $t = \sinh z$, el lado derecho es sólo el primer término de la serie de Taylor de la LHS. Para obtener el "próximo término" podríamos mirar el resto de la serie de Taylor de $\sinh^{-1} t$. El siguiente término es $- \frac{t^3}{6}$, lo que da

$$z \approx \frac{e^z - e^{-z}}{2} - \frac{(e^z - e^{-z})^3}{48}$$

o

$$\log y \approx \left( \sqrt{y} - \frac{1}{\sqrt{y}} \right) - \frac{1}{24} \left( \sqrt{y} - \frac{1}{\sqrt{y}} \right)^3.$$

No sé si esto es útil para nada. La serie para todos los pedidos sólo expresa la identidad

$$\log y = 2 \sinh^{-1} \frac{\left( \sqrt{y} - \frac{1}{\sqrt{y}} \right)}{2}.$$

Answer 2

El más simple Pade approximant podríamos construir parece ser $$\log(1+x)\approx\frac{x}{1+\frac{x}{2}}$$ and we can notice the similarity of denominators close to $x=0$.

Sin embargo, la aproximación dada en el post parece ser significativamente mejor para $x<\frac 12$.

Answer 3

Un enfoque diferente.

La función de $f(x)=x-\log(1+x)\sqrt{1+x}$ es continua y creciente en $[-1,1]$ (no he probado, pero un gráfico de $f'$ es lo suficientemente convincente.) Para cualquier $a\in(0,1)$ $$ f(-a)\le f(x)\le f(1)=0.0197419,\quad-\le x\le1. $$ Tomemos por ejemplo la $a=0.8$ obtenemos $$ -\frac{0.0802375}{\sqrt{1+x}}\le\frac{x}{\sqrt{1+x}}-\log(1+x)\le\frac{0.0197419}{\sqrt{1+x}},\quad -.8\le x\le1. $$

Esto demuestra que $\log(1+x)\sqrt{1+x}$ es una buena aproximación de $x$. $$ f(x)=-\frac{x^3}{24}+\dots $$ es un suplente de la serie. Esto explica la vey buena aproximación para $x>0$, y la no tan buena para $x<0$.

Answer 4

Una razón puede ser que su serie de Taylor en torno a $x=0$ inicio de la misma: $$ \log (x+1) \aprox x-x^2/2+x^3/3+\cdots $$ $$ \frac{x}{\sqrt{x+1}} \approx x-x^2/2+3x^3/8+\cdots $$ Por lo que de acuerdo a la orden de 2 de $|x|<1$. Ellos casi de acuerdo al orden de 3 debido a que $1/3 \approx 3/8$ aproximadamente.

Sin embargo, este es un a posteriori de la razón. No sé por qué esta aproximación debe ser bueno a priori.

Answer 5

$$\log(x+1)=\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{x+1}-1).$$

En el caso de $n=2$, $$2(\sqrt{x+1}-1)=2\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}\approx\frac x{\sqrt{x+1}}$$ para las pequeñas $x$.

La aproximación funciona mejor, ya que tiene una asíntota vertical en $x=-1$.