Supongamos que $A$ es un conjunto de medida finita. ¿Es posible que $A$ puede ser un incontable unión de subconjuntos disjuntos de $A$ ¿tiene cada una de ellas una medida positiva?
Lo entiendo. Gracias
Respuestas
¿Demasiados anuncios?No. Supongamos que $A$ es una unión disjunta incontable de subconjuntos medibles $A_i, i \in I$ con medida positiva. Entonces $I$ es una unión contable de los conjuntos de índices $i$ tal que $\mu(A_i) > \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}$ por lo que se deduce que uno de estos conjuntos debe ser incontable. En particular, una unión contable de alguna subcolección del $A_i$ tiene una medida arbitrariamente grande; contradicción.
Sólo lo señalo, pero la respuesta de Qiaochu no tiene nada que ver con la teoría de la medida. Estaba señalando el hecho de que la suma de un conjunto incontable de números positivos nunca puede ser finita (aunque para que esta afirmación tenga sentido, habría que definir primero lo que significa sumar un conjunto incontable de números).
@user1736: No es cierto que no tenga nada que ver con la teoría de la medida. La respuesta utiliza la aditividad contable (o al menos la aditividad finita) en conjuntos medibles disjuntos. Los conjuntos de medida finita se pueden descomponer en incontables conjuntos no medibles disjuntos. Véase, por ejemplo emis.de/cgi-bin/JFM-item?46.0294.01 (que no he leído, y que encontré referenciado en mathkb.com/Uwe/Forum.aspx/math/32728/ ).
Curious
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¿Es correcto el siguiente argumento?
Sea la cardinalidad del conjunto de los números naturales N. Sea A una colección de subconjuntos disjuntos incontables. Dispongamos estos subconjuntos en orden descendente según el valor de la medida $\mu$ en cada subconjunto. Tomemos primero N de estos subconjuntos. Denotemos las medidas en cada uno de estos conjuntos como $\mu_1,\mu_2....\mu_N$ . Si $\mu(A)$ es finito cada uno de estos valores debe ser finito. Supongamos que todos estos valores son mayores que $0$ la suma $\Sigma_{1\le i\le N}\mu_i$ no puede converger a un valor finito (Una suma de secuencias de números reales positivos sólo converge si allí el $n_{th}$ término va a $0$ como $n \to \infty$ ). Esto está en contradicción con nuestra suposición. Por lo tanto, podemos decir que sólo un número contable de estos valores es mayor que $0$ .
Vadim
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Tomemos cualquier colección de conjuntos disjuntos de medida positiva. Sólo puede haber un finito número de ellos con medida $>1$ , teniendo la medida $>\tfrac{1}{2}$ ..., teniendo medida $>\tfrac{1}{n}$ , ... Entonces, ¿cuántos conjuntos pueden estar en una unión contable de colecciones finitas de conjuntos?
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La respuesta es sí si se permite que los conjuntos no sean medibles (de modo que tengan medida externa positiva en lugar de medida). He dado una referencia para esto en un comentario sobre la respuesta de Qiaochu.