Isométrico de la Incrustación de un Banach separable Espacio en $\ell^{\infty}$

Question

El problema es:

Deje $X$ ser una de Banach separable espacio que hay un isométrico de la incrustación de$X$$\ell^{\infty}$.

Mis esfuerzos:

Me mostró que no es una isometría de $X^*$ (dual topológico) a$\ell^\infty$, de la siguiente manera:

Deje $(e_{i})_{i=1}^{\infty}$ ser una densa secuencia en la $B_{X}$, a continuación, defina $\Phi:X^*\rightarrow\ell^\infty$$\Phi(f)=(f(e_{i}))_{i=1}^\infty$.

Está claro que $\Phi$ es una isometría.

Una idea inicial y una cuestión secundaria

Es allí cualquier canónica de isometría de $X$ $X^*$desde $X$ es separable (o no)?

Answer 1

Este es casi el mismo que el de otras respuestas, con un poco de detalle:

Sea X un separable espacio de Banach. Deje $(x_n)$ ser una densa secuencia en la unidad de la esfera de $X$. Para cada una de las $n$, el uso de Hahn-Banach Teorema para encontrar una norma-funcional de $f_n\in X^*$$f_n^*(x_n)=1$.

Definir $\Phi: X\rightarrow\ell_\infty$ a través de $$ \Phi(x) =(f_n(x) ) $$

$\Phi$ es claramente lineal.

Supongamos $x\in X$ tiene una norma y deje $1>\epsilon>0$. Elija $n_\epsilon$, de modo que $\Vert x_{n_\epsilon}-x\Vert<\epsilon$.

Entonces $$\epsilon>|f_{n_\epsilon}(x_{n_\epsilon}-x)|=|f_{n_\epsilon}(x_{n_\epsilon})-f_{n_\epsilon}(x)| = |1-f_{n_\epsilon}(x)|.$$

Como $\epsilon$ fue arbitraria, esto implica que $\Vert \Phi(x)\Vert=\sup\limits_{n\in \Bbb N}|f_n(x ) |\ge 1$. También, para cualquier $n$, $$|f_n(x)|\le \Vert f_n \Vert \Vert x\Vert =1.$$ y por lo $\Vert \Phi(x)\Vert\le 1$.

Así tenemos a $\Vert \Phi(x)\Vert= 1$, siempre que $\Vert x\Vert =1$.

De esto se sigue que para todo elemento no nulo $x$$X$, tenemos
$$\Vert \Phi(x)\Vert= \Vert x\Vert \sup\limits_{n\in \Bbb N}|f_n(x/\Vert x\Vert) | =\Vert x\Vert;$$ and thus, $\Phi$ es una isometría.

Answer 2

Deje $(x_n)_{n=0}^\infty$ ser una densa secuencia en la $X$. Para cada una de las $n$, encontramos a$x_n^*\in X^*$, de modo que $\|x^*_n\|=1$$x^*_n(x_n)=\|x_n\|$. Es fácil comprobar que el operador $T: X\to \ell^\infty$ definido por $T(x)=(x_n^*(x))_{n=0}^\infty$ es el que desea incrustar.