¿Cuál es la dimensión de un ángulo sólido?

Question

No he visto que esto se explique claramente en ningún sitio. Los ángulos sólidos se describen normalmente como una fracción de la superficie de una esfera unitaria, de forma similar a como los ángulos son la fracción de la circunferencia de un círculo unitario. Sin embargo, no sé cómo ángulos sólidos se cuantifican realmente.

¿Los ángulos sólidos son un solo número que describe esta fracción del área? Me resulta confuso, ya que a menudo he visto integrales que se integran sobre una esfera utilizando ángulos sólidos, lo que parece implicar que los ángulos sólidos son cantidades multidimensionales (por ejemplo, al integrar utilizando coordenadas esféricas, el ángulo sólido tendría que consistir en los ángulos azimutales y polares cubiertos por el ángulo sólido diferencial).

A partir de ahí, ¿cómo escribirías un ángulo sólido que cubra toda la superficie de una esfera unitaria?

Answer 1

El ángulo sólido se define como el área en la esfera unitaria subtendida por el ángulo dividido por un área unitaria. Es un cociente, por lo que es un número adimensional único.

Ya veo por qué crees que debe ser una cantidad 2D, porque la superficie de una esfera, y cualquier mancha en ella, es un colector 2D y necesitas dos cantidades (tradicionalmente $\theta$ y $\phi$ ) para mapearlo. Cuando se calcula un área en la esfera, básicamente se está calculando una integral definida sobre $\theta$ y $\phi$ y el resultado es, por supuesto, un solo número. Se pierde información en el proceso: por ejemplo, sólo se conoce el área total, no la forma de la mancha en la esfera.

El ángulo sólido que cubre toda la esfera es por supuesto $4\pi$ /1 o $4\pi$ .

Answer 2

La respuesta de John Rennie me parece bien (+1). Sólo añadiré las partes relevantes de la Folleto del BIPM (PDF, p. 118) . BIPM reglas.

Answer 3

Al hacer integrales de superficie como dices, siempre se normalizaría por $R^2$ .

Así, si se da la dirección de un rayo por las coordenadas esféricas $\theta,\,\phi$ Si queremos el ángulo sólido subtendido por un haz de rayos (por ejemplo, un campo de luz) que convergen en algún punto, entonces es, por definición, el área de la parte de la esfera "atravesada" por el haz. La cuestión es que, cuando se utiliza una esfera como ésta, el radio es irrelevante para definir las direcciones. La dirección definida por el vector de posición de un punto de la esfera unitaria o de un punto de una esfera de cualquier radio es exactamente la misma dirección. Así que, por convención, el radio se elige como una unidad. Alternativamente, el ángulo sólido es la fracción de la esfera atravesada por el sistema de rayos, pero multiplicada por $4\pi$ . Espero que pueda ver que el $4\pi$ es una convención: podríamos igualmente definir el ángulo sólido como la simple fracción del área de la esfera. Sin embargo, el $4\pi$ tiene un sentido intuitivo desde el punto de vista de las unidades cuando pensamos en el Teorema de Gauss-Bonnet que es una idea totalmente fascinante ligada a un ángulo sólido.

Aquí hablamos de una variedad bidimensional compacta $M$ , de la que la esfera es un ejemplo. Puede no tener límites, como la esfera, o puede tener un agujero para que haya un límite $\partial\, M$ Como una burbuja de jabón que sale de su soplador de burbujas de alambre (¡equipo esencial para cualquier persona con niños de entre dos y cinco años a cuestas!). El teorema de Gauss-Bonnet es:

$$\int_M \,K_G(\vec{r})\,\mathrm{d}\,A + \int_{\partial M} K_{FS}(\vec{r})\,\mathrm{d}\,s = 2\,\pi\,\chi(M)$$

Aquí $K_G(\vec{r})$ es la curvatura gaussiana de la variedad. Se define imaginando un plano en ángulo recto con el punto $\vec{r}$ en la superficie en cuestión. La intersección del plano y la superficie será una curva espacial confinada en el plano, y tendrá cierta curvatura $\kappa = \mathrm{d}_s \theta$ en radianes doblados por unidad de distancia recorrida a lo largo de la curva. Hay dos planos principales a través del punto en cuestión que son aquellos para los que $\kappa$ es extrema. La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas extremas seccionales. Si tenemos que hacer la segunda integral sobre la frontera, $K_{FS}$ es simplemente la curvatura de una descripción Frenet-Serret de la frontera.

Observarás que la curvatura gaussiana, al ser el producto de dos curvaturas, tiene dimensiones de longitud inversa al cuadrado. Así que esta dimensión anula la dimensión del elemento de área $\mathrm{d}\,A$ . Igualmente para la integral sobre el límite: la curvatura tiene las dimensiones de la longitud inversa que se cancelan con las dimensiones del elemento de línea $\mathrm{d} s$ .

Para nuestra esfera no hay agujero $\partial M = \emptyset$ y la curvatura gaussiana es constante $R^{-2}$ . Así, el ángulo sólido subtendido por toda la esfera coincide con el teorema de Gauss-Bonnet sólo si utilizamos $4\pi$ estereorradianes = ángulo sólido subtendido por todas las direcciones. El teorema de Gauss Bonnet tiene un significado muy profundo: $\chi(M)$ es el valor del colector Característica de Euler el invariante topolígico encontrado a partir de un simple "cálculo cuántico" derivado de cualquier triangulación de la superficie. Podemos deformar, encoger, aplastar la esfera en la forma que queramos: siempre que no la rasguemos o cortemos, entonces $\chi(M) = 2$ .

Así, en el teorema de Gauss-Bonnet se puede ver tanto la anulación de las unidades como una generalización del concepto de ángulo sólido. Sin embargo, se podría imaginar que se eliminara el $2 \pi$ en el teorema de Gauss-Bonnet redefiniendo los ángulos, pero sería un poco complicado (tendríamos que tener $2 \pi$ antes del primer término del LHS del teorema GB). Así que, aunque se pueden acordar muchas convenciones, nos quedamos con la que define una esfera como $4\pi$ esteradiense.

Answer 4

Como definición general, el ángulo sólido es un ángulo tridimensional subtendido por un objeto bidimensional o tridimensional en un punto determinado del espacio. Mide la proximidad de un objeto al observador (en un punto determinado) en el espacio. Cuanto mayor sea el ángulo sólido, más cerca parecerá el objeto al observador.

El ángulo sólido se mide generalmente en la unidad SI $\color{blue}{\text{steradian }}$ (en resumen $sr$ ). Es una cantidad dimensional que viene dada por la siguiente fórmula generalizada en coordenadas esféricas $$\bbox[4pt, border:1px solid blue;]{\color{blue}{\Omega=\iint_{s}\sin\theta d\theta d\phi}} $$

Donde, en Física los símbolos son los habituales como $\color{blue}{\theta} \implies $ ángulo polar & $\color{blue}{\phi} \implies $ ángulo acimutal.

La superficie no tiene por qué ser una parte de la superficie esférica, sino que puede ser cualquier plano y, en general, cualquier objeto bidimensional o tridimensional del espacio. El ángulo sólido depende de la distancia relativa de un objeto y de la configuración de su forma geométrica con respecto al punto dado (ojo del observador) en el espacio.

(Para la explicación y el cálculo del ángulo sólido subtendido por cualquier plano poligonal (es decir, el plano limitado por las líneas rectas solamente) en cualquier punto en el espacio, por favor vaya a Teoría del polígono de HCR )