Si miras este problema en 2D tienes los siguientes parámetros en algún instante que describen tu trayectoria (posición y velocidad) alrededor de un cuerpo celeste con parámetro gravitatorio $\mu$ , radio $r$ velocidad radial $v_r$ y la velocidad tangencial $v_t$ . También hay algunos otros, pero estos no importan realmente en este problema, debido a la simetría.
Puede calcular el radio de su periapsis utilizando las ecuaciones para el eje semimayor y el excentricidad que cuando se expresa en $\mu$ , $r$ , $v_r$ y $v_t$ parecer
$$ a = \frac{\mu r}{2\mu - \left(v_r^2 + v_t^2\right) r}, \tag{1} $$
$$ e = \sqrt{1 + \frac{\left(v_r^2 + v_t^2\right) r}{\mu} \left(\frac{v_t^2 r}{\mu} - 2\right)}, \tag{2} $$
$$ r_{pe} = a (1 - e), \tag{3} $$
con $a$ el semieje mayor, $e$ la excentricidad y $r_{pe}$ la periapsis.
Ahora bien, si se calcula el derivada del tiempo total de la periapsis debe ser cero, si no se aplica ninguna otra fuerza externa además de la gravedad newtoniana, porque sin perturbación cada elemento orbital debe permanecer constante,
$$ \frac{d p_{pe}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \dot{v}_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \dot{v}_t = 0, \tag{4} $$
donde $\dot{v}_r$ y $\dot{v}_t$ son las derivadas temporales de $v_r$ y $v_t$ respectivamente, que es lo mismo que las componentes vectoriales de la aceleración neta.
Si ahora se aplica una fuerza/aceleración adicional quemando los motores en ángulo $\phi$ respecto a la dirección tangencial, como se ilustra en la imagen siguiente, ecuación $(4)$ ahora no será necesariamente igual a cero.
![illustration of the burn direction relative to the escape orbit.]()
La magnitud de la aceleración adicional es $f$ . Al aplicar esta aceleración y utilizar esa ecuación $(4)$ es cero la derivada temporal de $r_{pe}$ se convierte,
$$ \frac{d p_{pe,f}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \left(\dot{v}_r - f \sin\phi\right) + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \left(\dot{v}_t + f \cos\phi\right) = f \left(\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \cos\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \sin\phi\right). \tag{5} $$
Quieres saber para qué ángulo $\phi$ el valor de la derivada temporal de $r_{pe,f}$ se convierte en el más grande. Esto se puede hacer diferenciando con respecto a $\phi$ y resolverlo al poner la ecuación resultante igual a cero.
$$ \frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{d p_{pe,f}}{dt}\right) = f \left(-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \sin\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \cos\phi\right) = 0, \tag{6} $$
resolver para $\phi$ rendimientos,
$$ \phi = \tan^{-1}\left(\frac{-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r}}{\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t}}\right). \tag{7} $$
La única parte complicada de esta solución es el cálculo de las derivadas parciales de $r_{pe}$ .
Cuando intento resolverlo para tu ejemplo obtengo un ángulo de -3,2544°, por tanto muy cercano a la dirección tangencial, lo que disminuye el momento angular de la órbita, pero también cercano a la perpendicular a la velocidad actual porque la velocidad radial es mayor que la tangencial.
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Pues bien, si una órbita es hiperbólica, el cuerpo debe tener suficiente energía para alcanzar la velocidad de escape, por lo que, se mire como se mire, seguramente habrá que disminuir la energía total de la nave, lo que sólo puede conseguirse frenando. Por lo tanto, algún componente (mayor) de la velocidad debe ser retrógrado, pero eso no significa que el quemado óptimo no tenga también un componente tangencial.