Espectáculo $e^{D}(f(x)) = f(x+1)$ donde $D$ es el operador de la derivada de

Question

Agradecería la ayuda que muestra $e^{D}(f(x)) = f(x+1)$

Donde $D$ es el operador lineal $D: \mathbb{C}[x] \rightarrow \mathbb{C}[x]$ donde (en el contexto donde esta declaración surgió) $x \in \mathbb{N}$;

$f(x) \mapsto \frac{d}{dx} f(x)$

Por la expansión en series de Taylor $e^{D} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{D^n}{n!}$

$(1)$ $e^{D} (f(x)) = f(x) + f'(x) + \frac{f''(x)}{2!} +\dots$

Agradecería la ayuda que muestra que la línea anterior $(1)$ es igual a $f(x +1)$

Esto es lo que he intentado, pero se siente forzado:

para un desarrollo en serie de Taylor de la representación de $f(x +1)$ cerca de $x$ podría escribir

$f(x+1) = f(x) + f'(x)(x+1 - x) + \frac{f''(x)}{2!}(x+1 -x)^2 \dots$

Entonces, esto es igual para el lado derecho de la línea $(1)$.

Podría esta línea de pensamiento sea correcta? Muchas gracias.

Answer 1

Utilizar el teorema del binomio. $$ e^D x^n = \sum_{k=0}^\infty \frac{D^k}{k!} x^n. $$ Todos los términos después de$k=n$$0$, es decir, $D^k x^n=0$ si $k>n$, por lo que esta es \begin{align} \sum_{k=0}^n \frac{D^k}{k!} x^n & = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} x^{n-k} \\[6pt] & = \sum_{k=0}^n \binom nk x^{n-k} \\[6pt] & = (x+1)^n.\quad\longleftarrow\text{By the binomial theorem.} \end{align}

Answer 2

La serie de Taylor es $$ f(x+h) = \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n $$ and here $e^$ is nothing more than a notation for the power series $\sum A^n/n!$. The series is a well-defined operator for any operator $Un$ that is "locally nilpotent" (only a finite number of terms are nonzero when applied to any $f$). Using $(hD)^n = h^n^n$ it is a matter of comparing definitions to see that the operator that takes input any polynomial $g(x)$ and outputs $g(x+h)$ is $e^{hD}$.

Eso es todo por polinomios, en el carácter $0$.