¿Ejemplos vivos de espacios vectoriales?

Question

Cuando se enseñan espacios vectoriales abstractos por primera vez, es útil tener a mano algunos ejemplos realmente extraños, o incluso algunos no-ejemplos realmente extraños que puedan ilustrar el concepto. Por ejemplo, un físico amigo mío utiliza el "espacio de color" como (no) ejemplo, con dos bases diferentes dadas esencialmente {rojo, verde, azul} y {matiz, saturación y brillo} (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Color_space ). Digo que es un no ejemplo por varias razones, la más obvia es la ausencia de "color negativo".

En cualquier caso, ¿cuáles son algunos ejemplos extraños y vívidos de espacios vectoriales que has encontrado y que serían adecuados para una primera introducción?

Answer 1

El espacio vectorial real de todas las secuencias de fibonacci (los dos primeros valores son arbitrarios) es bastante instructivo. O el subespacio de todas las funciones suaves que satisfacen la ecuación diferencial $f'=f$ . Es bastante esclarecedor que el álgebra lineal elemental tenga una interacción con el análisis.

Answer 2

1. Los números reales positivos, donde el 1 es el "vector cero", la "multiplicación escalar" es realmente una exponenciación numérica, y la "suma" es realmente una multiplicación numérica.

2. Los complejos simpliciales, como en la topología algebraica, son otro buen ejemplo, pero quizás esto sea incluso también extraño. Aun así, podría ser divertido lanzar la idea de que a los matemáticos les gusta sumar triángulos entre sí para obtener cuadriláteros y negarlos para invertir la orientación, pero probablemente tendrán que creer que esto es realmente útil.

Answer 3

Me gusta el ejemplo $C([0,1])$ de funciones continuas en el intervalo (o algo similar). Es de aspecto familiar, pero muestra que no siempre hay una elección natural de la base.

Answer 4

Me gusta el ejemplo del color. Muestra cómo la idea de una base es útil, aunque no sea un espacio vectorial.

Las coordenadas baricéntricas son otro ejemplo de algo parecido a un espacio vectorial pero que no es un espacio vectorial.

Answer 5

Dejemos que $G$ sea un grafo finito, simple y no dirigido. A subgrafo de extensión de $G$ es un subgrafo que contiene todos los vértices de $G$ . El conjunto de subgrafos de extensión de $G$ es un espacio vectorial sobre el campo finito $\mathbb{F}_2$ : subgrafos de extensión dados $H$ y $H'$ declaran que un par de vértices son adyacentes en $H+H'$ si y sólo si son adyacentes en exactamente uno de $H$ o $H'$ .

Un subespacio interesante de este espacio vectorial es el espacio para bicicletas $C(G)$ que consiste en aquellos subgrafos de extensión que son incluso en el sentido de que cada vértice tiene un grado par. Es un ejercicio interesante demostrar que, como su nombre indica, $C(G)$ se extiende por los ciclos de $G$ .

En efecto, supongamos que $G$ está conectada, y dejemos que $T$ sea un árbol de expansión de $G$ . Añadiendo cualquier arista de $G-T$ a $T$ produce un ciclo. Los ciclos construidos de este modo se denominan ciclos fundamentales de $T$ y, de hecho, estos ciclos son la base de $C(G)$ .

Una aplicación de esta teoría es El criterio de planaridad de Mac Lane que dice que un gráfico es plano si y sólo si existe una base $\beta$ para $C(G)$ tal que cada arista de $G$ es una arista de a lo sumo dos elementos de $\beta$ .