La evaluación de $\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1-2t\cos\theta +t^2}d\theta$

Question

Necesito resolver esta integral, y he probado varios métodos de resolución de problemas y no lo consiguió. La integral es:

$$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1-2t\cos\theta +t^2}d\theta,$$

donde $t$ es un entero positivo.

Answer 1

Este es el famoso núcleo de Poisson (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel). Por ejemplo, ${\displaystyle \frac{1}{1 - 2t\cos\theta + t^2} = {1 \over 1 - t^2}Re\bigg(\frac{1 + te^{i\theta}}{1 - te^{i\theta}}\bigg)}$, por lo que usted está buscando para la parte real de $${1 \over 2\pi(1 - t^2)}\int_0^{2\pi}{\frac{1 + te^{i\theta}}{1 - te^{i\theta}}}d\theta$$ Como un complejo integral, esto es $${1 \over 2\pi i(1 - t^2)}\int_{|z| = 1}\frac{1 + tz}{z(1 - tz)}\,dz$$ Por la integral de Cauchy esta fórmula se evalúa como $${1 \over 1 - t^2}$$ Esto ya es real, así que esto también es la parte real, que es su respuesta.

Answer 2

SUGERENCIA: Sustitución de Weierstrass

Answer 3

Es más fácil el uso de técnicas de variables complejas (teorema de los residuos), sustituto $ \cos(\theta) = \frac{z+\frac{1}{z}}{2} \,$ donde $ z=\exp{(i\theta)}$ e integrar

$$ \frac{1}{2\pi}\oint_{|z|=1}\frac{1}{1-2t\frac{z+\frac{1}{z}}{2} +t^2}d\theta = \dots $$

Answer 4

$$\frac{1}{1-2t\cos \theta +t^2}=\frac 1{1+t^2-2t\frac{(1-\tan^2\frac{\theta}2)}{(1+\tan^2\frac{\theta}2)}}$$

$$=\frac{\sec^2\frac{\theta}2}{(1+t^2)(1+\tan^2\frac{\theta}2)-2t(1-\tan^2\frac{\theta}2)}=\frac{\sec^2\frac{\theta}2}{(1-t)^2+\tan^2\frac{\theta}2(1+t)^2}$$

$$=\frac1{(1+t)^2}\frac{\sec^2\frac{\theta}2}{(\frac{1-t}{1+t})^2+\tan^2\frac{\theta}2}$$

Si $f(\theta)=\frac{1}{1-2t\cos \theta +t^2}, f(2\pi-\theta)=f(\theta)$,

Por eso, $\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta=2\int_{0}^{\pi}f(\theta)d\theta$

$$I=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1-2t\cos\theta +t^2}d\theta =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{1}{1-2t\cos\theta +t^2}d\theta,$$

$$=\frac{1}{\pi(1+t)^2}\int_{0}^{\pi}\frac{\sec^2\frac{\theta}2}{(\frac{1-t}{1+t})^2+\tan^2\frac{\theta}2}d\theta$$

Ahora podemos poner $z=\tan \frac{\theta}2$ en el problema dado, si $\theta=0,z=0$ e si $\theta=\pi,z=∞$ $dz=\frac{\sec^2\frac{\theta}{2}d\theta}{2}$

Por eso, $$I=\frac{1}{\pi(1+t)^2}\int_{0}^{∞}\frac{2dz}{(\frac{1-t}{1+t})^2+z^2}$$

$$=\frac{2}{\pi(1-t^2)} \tan^{-1}{\frac{(1+t)z}{1-t}} \mid_{0}^{∞}$$

En $z=0, \tan^{-1}{\frac{(1+t)z}{1-t}}=0$ si $t \ne 1$

En $z=∞, \tan^{-1}{\frac{(1+t)z}{1-t}}=\frac{\pi}2$ si $ \frac{1+t}{1-t}>0 $ o si $ \frac{(1+t)(1-t)}{(1-t)^2}>0$ o si $1-t^2>0$ o si $-1< t< 1$

En $z=∞, \tan^{-1}{\frac{(1+t)z}{1-t}}=-\frac{\pi}2$ si $t>1$ o $t<-1$