Manera fácil de memorizar o rápidamente se derivan de la sumación de las fórmulas

Question

Mi profesor de matemáticas nos dijo hace poco que ella nos quiere estar familiarizado con la notación de sumatoria. Ella dice que tiene que haber dominado porque estamos empezando la integración de la próxima semana. Ella nos dio un montón de fórmulas para memorizar. Sé que puedo simplemente memorizar la lista, pero me pregunto si hay una rápida intuitiva forma de derivar de ellos sobre la marcha. Se tiene que ser muy rápida derivación porque todos los de su prueba son el tiempo de espera. De lo contrario, hay una manera fácil, ustedes recuerdan estas fórmulas.

Nota: lo Siento si no es fácil y la respuesta obvia a esta pregunta. La mayoría de los estudiantes de mi clase ya saben que estas fórmulas de la escuela secundaria, pero yo sólo fui hasta 2 Álgebra y Trigonometría cuando estaba en la escuela secundaria. PS: Esto es para una clase de cálculo en la universidad.

Answer 1

Tal vez la reorganización de ellos de esta manera :

Clase 1 : patrón claro (sin final, de hecho!) \begin{align} \sum k&=\frac{n(n+1)}2\\ \sum k(k+1)&=\frac{n(n+1)(n+2)}3\\ \sum k(k+1)(k+2)&=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}4\\ &\cdots\\ \end{align} $$\boxed{\displaystyle\sum k^{(p)}=\frac{n^{(p+1)}}{p+1}}$$ (el símbolo de Pochhammer $\;k^{(p)}:=k(k-1)(k+2)\cdots(k+p-1)\;$ y la analogía entre la suma y la integración deben ayudar a recordar todos estos y... hacer un bonito matemáticas!)

Clase 2 : utilizando los resultados anteriores... \begin{align} \sum k&=\frac{n(n+1)}2\\ \sum k^2&=\frac{n(n+\frac 12)(n+\frac 22)}3\\ \\ \sum k^3&=\left(\sum k\right)^2\\ \end{align}

Clase 3 : las fracciones (poner el primer denominador en la parte superior con $\,k\to n$) : \begin{align} \sum \frac 1{k(k+1)}&=\frac{n}{n+1}\qquad \text{}\\ \sum \frac 1{k(k+1)(k+2)}&=\frac{(n)(n\overbrace{+1}^{\rightarrow}+2)}{4(n+1)(n+2)}\\ \\ \text{( some bad faith may }&\text{help to explain what the %#%#% is <for> ;-) )}\\ \end{align}

Sobre la última (suma de las probabilidades) recuerda esta imagen :

$4$

Answer 2

Me gustaría compartir la forma en que terminé recordando estas fórmulas. La mayoría de ellos son geométricas maneras de recordar estas fórmulas de suma. Todavía me gusta Raymond Manzoni respuesta, así que voy a dejar que como mi aceptado respuesta! Realmente me ayudó en mi prueba.

$\sum \:_{n=a}^b\left(C\right)=C\cdot \:\left(b-a+1\right)$: Este es uno donde es bastante fácil de recordar por sólo la comprensión de lo que suma definición de medios. Es, básicamente, diciendo mantener en la adición de C, por lo $C+C+C+C+C+...+C$. Que la adición de c, $b-a+1$ veces. Por eso, $C\cdot \left(b-a+1\right)$.

$\sum _{n=1}^k\left(n\right)=\frac{\left(1+k\right)\cdot \:k}{2}$ Usted puede hacer un diagrama de puntos en forma de triángulo. Esta primera columna se tiene 1 punto, el segundo 2, el tercero 3, el cuarto 4, y va a seguir haciendo lo k veces. La cantidad total de puntos en un triángulo es lo que queremos averiguar. Si hacemos a triángulos idénticos de este formato y voltear una y se superponen para formar un rectángulo. Obtenemos un rectángulo con altura k y k+1. Pero esto nos da el total de la forma de dos triángulos. Nosotros sólo nos preocupamos de 1, así que nos dividimos por dos.

$\sum _{n=1}^k\left(2n-1\right)=k^2$: Para esto, me gusta la foto de Raymond dio. Mira su respuesta para la explicación de este.

$\sum _{n=1}^k\left(n^2\right)=\frac{\left(\left(2k+1\right)\cdot \:\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right)}{3}=\left(\frac{\left(2k+1\right)\cdot k\left(k+1\right)}{6}\right)$: Crear rectángulos. Primera 1x1,2x2,3x3,...hasta llegar hasta k rectángulos.Ahora, tomar tres copias de cada uno de los rectángulos y colocarlos como la de la foto. Tomar dos copias, y colocarlos en orden decreciente hacia arriba. Ahora corte la tercera copia de cada rectángulo y colocarlos en el medio. Ellos están codificados por color para que pueda ver que todos estos puntos aparecen de uno de estos rectángulos. Ahora, con un nuevo rectángulo con base 2*k+1 y el ancho de $\sum _{n=1}^k\left(n\right)$. Usted ya sabe $\sum _{n=1}^k\left(n\right)$ es igual a $\:\frac{k\left(k+1\right)}{2}$ desde el triángulo de la imagen de arriba. Así que ahora multiplicar la longitud y la anchura para encontrar el área de(total de puntos), y consigue $\left(2k+1\right)\cdot \:\frac{k\left(k+1\right)}{2}$, pero este es de tres copias de cada uno. Así que dividir por 3. Lo que nos deja con $\frac{\left(\left(2k+1\right)\cdot \:\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right)}{3}$

$\sum \:_{n=1}^k\left(n^3\right)=\left(\sum \:\:\:_{n=1}^k\left(n\right)\right)^2=\left(\frac{\left(1+k\right)\cdot \:\:\:k}{2}\right)^2$:Dibujar un cubo con $1^3$ puntos,$2^3$ puntos,$3^3$ puntos,$4^3$ puntos,...hasta llegar a k cubos. Ahora reorganizar,cuadrados y rectángulos, como se muestra en la imagen. Todos los otros cuadrado se reduce a la mitad. mientras que otros son apilados por los aviones de la siguiente capa. Impar De Capas=Pila. Incluso Las Capas=Cortar. Usted obtiene un cuadrado de la anchura $\sum _{n=1}^k\left(n\right)=\frac{\left(1+k\right)\cdot \:k}{2}$ y la altura de la $\sum _{n=1}^k\left(n\right)=\frac{\left(1+k\right)\cdot \:k}{2}$.