Esta podría ser una pregunta tonta, pero me preguntaba, ¿hay alguna topología que no pueda ser generada por una base? si no, dada una topología, ¿hay una forma fiable de averiguar una base para ella? probablemente importa si el conjunto $X$ la topología es contable o no, ¿verdad? ¿Importaría si la topología en sí misma es contable? Gracias por cualquier ayuda, consejo o retroalimentación.)
Sinceramente,
Vien
Cada topología es una base para sí misma.
Añadido: En cualquier conjunto $X$ la topología indiscreta $\{X,\varnothing\}$ sólo se tiene a sí misma como base. Hay otros ejemplos. Por ejemplo, para $n\in\Bbb Z^+$ deje $V_n=\{1,\dots,n\}$ y que $\tau=\{\varnothing,\Bbb N\}\cup\{V_n:n\in\Bbb Z^+\}$ Entonces $\tau$ es una topología en $\Bbb N$ cuya única base es ella misma: ninguno de los conjuntos $V_n$ puede escribirse como unión de los demás conjuntos de la topología, y $\Bbb N$ es el único conjunto abierto que contiene $0$ .
Sin embargo, si cada punto del espacio $\langle X,\tau\rangle$ tiene un nbhd abierto que no es todo el espacio, entonces $\tau\setminus\{X\}$ es siempre una base de $\tau$ diferente de $\tau$ sí mismo. En particular, esto es cierto para cada $T_1$ espacio con más de un punto.
@Brian M.Scott: Sé que hace tiempo que contestaste a esto, pero espero que puedas aclarar algo sobre tu respuesta. Pensé que la respuesta (al post original) debería ser "sí", porque dada una topología $\tau$ la familia $\tau \smallsetminus \{\emptyset \}$ es una base y es estrictamente más gruesa que $\tau$ . Así que en ambos ejemplos existe una base distinta de la propia topología. ¿Qué me falta?
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Me pregunto si le gustaría considerar lo siguiente: Deje que $\mathcal B$ sea la familia de todas las bases para una topología determinada. Orden $\mathcal B$ por inclusión. Para algunas topologías existe un elemento mínimo de $\mathcal B$ pero no es la situación que uno espera normalmente. Se podrían examinar las circunstancias en las que $\mathcal B$ tiene elementos mínimos, o incluso un único elemento mínimo.