Son matrices de rango 2 tensores?

Question

Yo sé que esto a veces es el caso, pero que algunas de las matrices no son tensores. Entonces, ¿cuál es la intuitiva y demandas específicas de una matriz a también ser un tensor? Qué se necesita para ser cuadrática, singular o algo más?

Algunas fuentes que he leído parecen sugerir que todo el rango 2 matrices son tensores, mientras que otros sólo afirma que "algunas" de las matrices de rango 2 tensores.

¿Cuál es la conexión entre los tensores y las matrices?

Answer 1

Esta pregunta no tiene una única respuesta correcta, porque no hay un consenso universal sobre la definición de "tensor" en matemáticas. En particular:

1. Los tensores se define a veces como matrices multidimensionales, de la misma manera que una matriz es una matriz de dos dimensiones. Desde este punto de vista, una matriz es sin duda un caso especial de un tensor.

2. En geometría diferencial y física, "tensor" se refiere a un cierto tipo de objeto que pueda ser descrito en un punto en el colector (aunque la palabra "tensor" se utiliza a menudo para referirse a un campo tensorial, en la que un tensor es elegido por cada punto). Desde este punto de vista, una matriz puede ser utilizada para describir un rango de-dos tensor en coordenadas locales, pero un rango de-dos tensor no es en sí mismo una matriz.

3. En álgebra lineal, "tensor" a veces se refiere a un elemento de un producto tensor, y a veces se refiere a un cierto tipo de multilineal mapa. De nuevo, ninguna de estas es una generalización de "matrix", a pesar de que usted puede obtener una matriz a partir de una clasificación en dos tensor si usted elige una base para el espacio vectorial.

Te encuentras con el mismo problema, si haces una pregunta como "Es un vector sólo una tupla de números?" A veces un vector se define como una tupla de números, en cuyo caso la respuesta es sí. Sin embargo, en la geometría diferencial y la física, la palabra "vector" se refiere a un elemento del espacio de la tangente a una variedad diferenciable, mientras que en álgebra lineal, un "vector" puede ser cualquier elemento de un espacio vectorial.

En un nivel básico, la declaración de "un vector es un tensor de rango 1, y una matriz es un tensor de rango 2" es más o menos correcto. Esta es sin duda la forma más sencilla de pensar acerca de los tensores, y se refleja en la notación de Einstein. Sin embargo, es importante apreciar las sutilezas de esta identificación, y darse cuenta de que "tensor" a menudo significa algo un poco diferente y más abstracto de una matriz multidimensional.

Answer 2

La conexión es esta: una matriz se compone de los coeficientes de un tensor (1,1), pero no es un tensor de sí mismo.

Supongamos que estamos hablando de una transformación lineal $T$ $n$ dimensiones de espacio vectorial $V$.

Ahora $T$ es sin duda un tensor (tensores son, después de todo, multilineal mapas en las copias de $V$$V^\ast$, y una transformación lineal puede ser interpretado como una multilinar función de$V\times V^\ast$$\mathbb{F}$.)

Una vez que una base para $V$ es fijo, entonces se puede hablar de la matriz $A$ $T$ que está escrito en términos de la base. Lo mismo puede decirse de general multilineal de las funciones de copias de $V$$V^\ast$, que después de que usted haya fijado una base, tienes una gran matriz de la celebración de sus coeficientes.

Es importante recordar que no se puede confundir la matriz del tensor. El tensor es una base independiente de la entidad: es un tipo de función. Los componentes son sólo una representación particular de la función y los componentes dependen de una elección de la base.