Estaba leyendo el artículo de Wikipedia sobre puntos de Lagrange y haciendo el requisito de la wiki a pie a través de los distintos cuasi-satélites de la Tierra cuando una pregunta se me ocurrió:
Podría haber una estable o de Lissajous órbita alrededor del cuerpo de menor importancia perpendicular a la eclíptica, que pasa a través o cerca de L4 y L5?
La respuesta es NO, tal órbita no es posible.
Hay herradura órbitas. Estos pueden hacerse arbitrariamente delgada, pero tiene que tener algo de espesor a la herradura. Por lo tanto, que pasa exactamente a través de $L_4$ $L_5$ no es una opción, pero "cerca" es ciertamente posible.
Herradura órbitas son co-planar con el cuerpo de menor importancia. Usted pidió órbitas perpendicular a la eclíptica. A primera vista, esto sería, de hecho, parece posible; cuando se ignoran por parte de terceros de los efectos, no puede imaginar un punto de masa en órbita en el cuerpo principal de una órbita elíptica, que tiene el mismo período orbital como el cuerpo de menor importancia, donde el acercamiento haría pasar a través de $L_5$ $L_4$ (en ese orden) y el lejano pasará y consumir el resto del periodo orbital.
El tiempo necesario para $L_4$ a mover directamente opuesto $L_5$ tiempo $t$ es simplemente $\ T/6$ (desde el 60$^\circ = 360^\circ/6$, $T$ el periodo orbital), lo que significa que el tiempo entre el objeto del pericentre pasaje y verdadera anomalía 90$^\circ$ debe ser igual a $\ T/12$.
Estos dos requisitos (fijo $T$ y tiempo fijo entre pericentre pasaje y verdadera anomalía 90$^\circ$) ya restringir completamente la forma y el tamaño de la órbita. Sin embargo, hay un tercer requisito, es decir, que la distancia entre el punto de la masa y el cuerpo principal es igual a la radio orbital de los menores del cuerpo cuando pasa la eclíptica (de lo contrario, no pasan a través de $L_{4,5}$). Esto significa que la órbita es más restringido, y por lo tanto, probablemente imposible.
Vamos a ensuciarnos las manos. Dado un dos-sistema del cuerpo en órbita circular,
El periodo orbital $T$ de la órbita a través de $L_4$ $L_5$ perpendicular al plano de la órbita de la 2-sistema del cuerpo debe ser igual a $T_S$, por lo que
$$ T = T_S\\ 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu_0}} = 2\pi \sqrt{\frac{a_S^3}{\mu_0}} \\ a = a_S $$
así que sabemos que el semi-eje mayor debe ser igual a la radio orbital de la 2-sistema del cuerpo. Para cualquier órbita en un 2-cuerpo contexto, la siguiente ecuación polar se aplica:
$$ r = \frac{a\left(1-e^2\right)}{1 + e\cos(\theta)} $$
con $r$ la distancia, $a$ el semi-eje mayor, $e$ la excentricidad, e $\theta$ la verdadera anomalía. Para nuestro fuera-de-plano de la órbita, sabemos que no se debe cruzar la órbita de $M_1$$\theta = \pi/2$. Sustituyendo esto en la ecuación, y con el hecho de que y el hecho de que $a = a_S$ resultados en
$$ r_{\theta=\pi/2} = a_S\left(1-e^2\right) $$
pero en ese momento, la distancia debe ser igual el radio orbital, $a_S$,
$$ a_S = a_S\left(1-e^2\right) $$
que solo es posible si $e=0$ (órbita circular). Pero desde nuestro fuera-de-plano de la órbita no circular (como por la exigencia $\theta = \pi/2$ al $t= T/12$ e no $t=T/4$, lo cual es cierto para órbitas circulares), hemos llegado a una imposibilidad.
(He seguido un poco a determinar lo $e$ debe ser. Sólo se puede encontrar numéricamente; encontré $e \approx 0.5533$).
Así que en resumen: creo que los de herradura órbitas son lo más cercano que voy a ser capaz de llegar a lo que usted pidió.
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