El número de valores distintos de $ \oint_\gamma \frac{dz}{(z-a_1)(z-a_2)...(z-a_n)}$ cerrados $ \gamma $

Question

Se me ha pedido para encontrar el número de valores distintos que $ \oint_\gamma \frac{dz}{(z-a_1)(z-a_2)...(z-a_n)}$ puede tomar por simple curvas cerradas $ \gamma $ no pasa a través de cualquiera de las $ a_i $.

Mis pensamientos hasta el momento:

Sé que debería estar pensando en fracciones parciales y el uso de Cauchy de la Integral de la Fórmula. WLOG set $ |a_1| < |a_2| < ... < |a_n| $. Deje $ I(\gamma) $ denotar el interior de la curva cerrada $ \gamma $. Ahora hay $ n $ posibles escenarios que podrían dar diferentes valores de la integral: $ a_1 \in I(\gamma) $, $ a_1 $ y $ a_2 \in I(\gamma) $, ... , $ a_1, a_2, ... , a_n \in I(\gamma) $. A partir de la integral de la fórmula, cada raíz $ a_i $ $ p(z) = (z-a_1)...(z-a_n) $ hará un no-cero aporte iff $ a_i \in I(\gamma) $. Escribir como fracciones parciales tenemos:

$ \frac{1}{p(z)} = \frac{A_1}{z-a_1} + \frac{A_2}{z - a_2} + ... + \frac{A_n}{z - a_n} $, lo que conduce a

$ A_1 (z-a_2)...(z-a_n) + A_2(z-a_1)...(z -a_n) + ... + A_n(z-a_1)...(z-a_{n-1}) = 1$ (*)

Y así, vemos que los valores posibles de la integral se $ 2\pi i \left( A_1 \right) $ o $ 2\pi i \left( A_1 + A_2 \right) $ o"$ 2 \pi i \left( A_1 + ... + A_n \right) $.

Pero la relación (*) da las restricciones en los valores de la $ A_i $. Por ejemplo, $ A_1 + ... + A_n = 0 $ (considerando el coeficiente de $ z^{n+1} $).

No estoy seguro acerca de hacer el salto definitivo a la respuesta: ¿cómo debo contar los posibles valores de la $n $ sumas? Les agradecería mucho cualquier consejo, ya sea en la forma de señalar errores en mi razonamiento tan lejos o sugerencias sobre dónde ir a continuación. Yo prefiero no tener una respuesta completa (o una pista de lo que hace mi tarea trivial). Gracias.

Answer 1

Que $\sum_i A_i=0$ es la única condición de la $A_i$'s genéricamente tienen que cumplir. Por lo tanto, el valor de la integral puede ser $$A_1, A_2, \dots, A_n,$$ $$A_1 + A_2, A_1 + A_3, \dots, A_{n-1}+A_n,$$ $$\dots$$ $$A_{1}+A_2 + \dots + A_{n-1} =-A_{n}, -A_{n-1}, \dots , -A_1.$$

De la primera línea hay $n={n\choose 1}$ valores distintos. La segunda línea de los rendimientos de ${n\choose 2}$ valores distintos. En total, se han $$\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} = 2^n -1$$ distinct values of the integral; $k=0$ counts the value zero which you get when you enclose nothing or everything. Note that for $n=1$ the formula does not work. As there are obviously two results (0 or $A_1$) posible.

Answer 2

(esto es un poco de corrección de user10287 la respuesta - tenemos que ocuparnos de la orientación de la curva! así que tenemos dos veces la cantidad de posibilidades. Es el residuo que en el infinito se $0$ que reduce el número de vuelta por $2$)

La curva divide la esfera de Riemann en dos partes. La integral está dada por la suma de los residuos que están en el lado positivo de la curva. El residuo de a $\infty$ $0$ (a menos que $n=1$!). Así, obtenemos $2^n-1$ posibilidades (o $2$ en el caso $n=1$) ($2^n$ para la selección del subconjunto de $a_1,\dots,a_n$, que está en el lado positivo de la curva, y $-1$ para el caso cuando no hay nada en el lado positivo, dando la misma respuesta, como si todo lo que está en el lado positivo. No encaja como un comentario, así que post como respuesta).

Ahora es una cuestión de si el resto de las $2^n-1$ posibilidades son diferentes. El valor de $A_1$ $1/((a_2-a_1)(a_3-a_1)\dots(a_n-a_1))$ (multiplicar la ecuación por $z-a_1$ y, a continuación, sustituya $z=a_1$) (y lo mismo para otros $A_i$'s). La pregunta es si hay alguna que no trivial de la identidad de $A_{i_1}+\dots+A_{i_k}=A_{j_1}+\dots+A_{j_l}$ además $A_1+\dots +A_n=0$. Ciertamente depende de $a_i$'s - y, por el momento, no veo por qué no hay tal identidad :)