Veamos los cuaterniones hamiltonianos $\mathcal{K}$ con $\alpha^2=\beta^2=-1$ . Todos sabemos, por el razonamiento de Sir William, que esta álgebra se ramifica en el lugar infinito $\mathbb{Q}_v=\mathbb{R}$ . Dejemos que $p$ sea un primo impar. La afirmación es que existe un número entero negativo $-m$ tal que tiene una raíz cuadrada en $\mathcal{K}$ así como $\mathbb{Q}_p$ . Es fácil encontrar esos enteros, porque varios enteros negativos tienen raíces cuadradas en $\mathcal{K}$ . Esto se debe a que $$(ai+bj+ck)^2=-a^2-b^2-c^2$$ para cualquier triple de enteros racionales $a,b,c$ . Se sabe que, por ejemplo, todos los enteros Impares que no son congruentes con $7$ modulo $8$ puede escribirse como una suma de tres cuadrados. Por otro lado, cualquier número entero que sea congruente con un residuo cuadrático módulo $p$ tiene una raíz cuadrada en $\mathbb{Q}_p$ por una elevación de Hensel de la raíz cuadrada modular. Como $p$ es impar, tales enteros no pueden cubrir toda la clase de residuos $7+8\mathbb{Z}$ . El reclamo es el siguiente.
Esto implica que $\mathbb{Q}_p$ contiene un subcampo máximo del álgebra de cuaterniones, y eso a su vez implica que este lugar se divide. Otra forma de ver esto es que cuando $z\in\mathbb{Q}_p$ satisface $z^2=-m$ y simultáneamente tenemos $m=a^2+b^2+c^2$ para algunos enteros $a,b,c$ entonces el elemento $$ z\cdot1+a\cdot i+b\cdot j+ c\cdot k\in \mathbb{Q}_p\otimes\mathcal{K} $$ tiene norma cero y, por tanto, no puede ser invertible.
Editar: Véase el comentario de Keith Conrad más abajo para una forma más sencilla de mostrar que el Hamiltoniano Hamiltonianos se dividen en todos los primos Impares $p$ .
El primer $p=2$ OTOH ramifica (la teoría del campo de clases también dice que cualquier álgebra de división debe ramificar al menos en dos lugares). Ya lo sospechamos por el cálculo anterior, porque un entero impar $m$ tiene una raíz cuadrada en $\mathbb{Q}_2$ si $m\equiv 1\pmod 8$ (así $\sqrt{-m}\in\mathbb{Q}_2$ sólo, si $m\equiv 7\pmod 8$ ). Pero esta vez debemos estudiar la norma de un elemento $$ q=a_0\cdot1+a_1\cdot i+a_2\cdot j+a_3\cdot k\in\mathbb{Q}_2\otimes\mathcal{K}. $$ La norma es, por supuesto, $$ N(q)=a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2. $$ Quiero demostrar que esto nunca desaparece. Esto demostrará que $\mathcal{K}$ se ramifica en $p=2$ Sin pérdida de generalidad (escalamiento) podemos suponer que todos los coeficientes son $2$ -y que al menos uno de ellos es un $2$ -Una unidad de la vida cotidiana. Un fácil análisis caso por caso muestra entonces que $N(q)$ no es divisible por $8$ . Básicamente esto se deduce del hecho de que los cuadrados de todos los enteros Impares son congruentes con $1\pmod 8$ .
